Problemas y ejercicios resueltos de Programación matemática. Enunciado uno con su respuesta

Encontrar el máximo de:

f(x) = x(5.– x) ; en [0 , 20]

Con error inferior a 1, empleando búsqueda de Fibonacci.

Respuesta

Con este ejemplo se trata de ver la capacidad operativa del método basado en los números de Fibonacci, para encontrar numéricamente el valor extremo de una función. Resolviendo analíticamente, el máximo de la función resulta en:

f(x) = 5. .x – x2 ? f '(x) = 5. - 2.x = 0 x = 5. /2

Y tenemos :

f(x) = f(5. /2) = 61,685

La búsqueda de Fibonacci está basada en la sucesión de números enteros del mismo nombre:

Cuyos primeros términos son : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Para resolver el problema, el primer paso es establecer el número de iteraciones a realizar:

Por lo tanto, siguiendo la serie de los números de Fibonacci, deberemos realizar seis iteraciones para las que tenemos:

Si tomamos ahora:

y tenemos en cuenta que:

podemos formar el siguiente cuadro:

i	u_a	u_b	u_c	u_d	f(u_c)	f(u_d)
1	0	20	7,618	12,380	61,629	41,200
2	0	12,380	4,761	7,618	52,118	61,629
3	4,761	12,380	7,618	9,522	61,629	58,903
4	4,761	9,522	6,665	7,618	60,271	61,629
5	6,665	9,522	7,618	8,570	61,629	61,672
6	6,665	8,570	7,618	7,618	61,629	61,629

Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor:

u = 7,618 f(u) = 61,629

Y este valor se diferencia del máximo teórico en:

61,685 – 61,629 = 0,056 << 1

Tal como habíamos considerado.