PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de programación matemática

Respuesta del ejercicio 1
Con este ejemplo se trata de ver la capacidad operativa del método basado en los números de Fibonacci, para encontrar numéricamente el valor extremo de una función. Resolviendo analíticamente, el máximo de la función resulta en:
    \( \displaystyle f(x) = 5\pi·x - x^2 \rightarrow f'(x) = 5\pi - 2x = 0 \rightarrow x = \frac{5\pi}{2}\)
Y tenemos :
    \( \displaystyle f(x) = f\left(\frac{5\pi}{2}\right)= 61,685 \)
La búsqueda de Fibonacci está basada en la sucesión de números enteros del mismo nombre:
    \( F_n = \quad\left\{ \begin{array}{l} F_0 = F_1 = 1 \\ \\ F_n = F_{n-1}+ F_{n-2} \\ \end{array} \right. \qquad n\geq 2\)
Cuyos primeros términos son : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Para resolver el problema, el primer paso es establecer el número de iteraciones a realizar:
    \( \displaystyle D_0^1 = 20-0 = 20 \Rightarrow \frac{D_0^1}{\varepsilon}= \frac{20}{1} \leq F_n = F_7 = 21 \)
Por lo tanto, siguiendo la serie de los números de Fibonacci, deberemos realizar seis iteraciones para las que tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u_c^1 = u_a^1 + D_0^1·\frac{F_5}{F_7} = 0 + 20\times \left(\frac{8}{21}\right) = 7,619 \\
    \\
    \\
    u_d^1 = u_a^1 + D_0^1·\frac{F_6}{F_7} = 0 + 20\times \left(\frac{13}{21}\right) = 12,619
    \end{array} \)
Si tomamos ahora:
    \( u_a^2 = u_a^1 \quad ; \quad u_b^2 = u_d^1 \quad ; \quad u_d^2 = u_c^1 \)
y tenemos en cuenta que:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} u_c^i = u_a^i + \left(u_b^i - u_a^i\right)\frac{F_{n-i-1}}{F_{n-i+1}} \\ \\ \\ u_d^i = u_a^i + \left(u_b^i - u_a^i\right)\frac{F_{n-i}}{F_{n-i+1}} \end{array} \)
podemos formar el siguiente cuadro:

i ua ub uc ud f(uc) f(ud)
1 0 20 7,618 12,380 61,629 41,200
2 0 12,380 4,761 7,618 52,118 61,629
3 4,761 12,380 7,618 9,522 61,629 58,903
4 4,761 9,522 6,665 7,618 60,271 61,629
5 6,665 9,522 7,618 8,570 61,629 61,672
6 6,665 8,570 7,618 7,618 61,629 61,629

Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor:
    \(u = 7,618 \rightarrow f(u) = 61,629 \)
Y este valor se diferencia del máximo teórico en:
    \( 61,685 – 61,629 = 0,056 << 1 \)
Tal como habíamos considerado.
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás