PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

EJERCICIOS RESUELTOS

DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA

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Ejercicios de optimización - Enunciado 41

Si se tiene la ecuación:
    \( y^3 = 6xy - x^3 - 1\)

Demuéstrese que se verifica:

    \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\)

Y que el máximo y mínimo de y se encuentran, respectivamente en:

    \( x^3 = 8 \pm 2 \sqrt{14}\)
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Ejercicios de optimización - Enunciado 42

Una pequeña editorial pretende poner en marcha una campaña de promoción de la última novela de uno de sus escritores y para ello va a lanzar al mercado dos formatos de presentación de la misma, libro de bolsillo y libro de tapa dura. En el departamento de impresión disponen de 140 horas para su tarea sobre el proyecto y en el departamento de encuadernación de 250. Los ingresos obtenidos por cada libro de bolsillo son de 10 euros y para su elaboración se requiere 1 hora en el departamento de impresión y 2 horas en el de encuadernación y los ingresos obtenidos por cada libro de tapa dura, son de 17 euros, siendo 2 las horas necesarias para su elaboración en el departamento de impresión y 3 las necesarias en el de encuadernación.

¿Cuantos libros de cada uno de los formatos ha de publicar la editorial para obtener beneficio máximo y a cuanto ascienden los ingresos correspondientes.
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Ejercicios de optimización - Enunciado 43

Dibujar la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
    \( 3x + 5y \leq 30 \, ; \, x - 2y \leq 6 \, ; \, 2x + 12 \geq 3y \, ; \, x \geq 0 \, ; \, y \geq 0 \)

y calcular sus vértices.

Determinar los puntos de dicha región en los que la función \(F(x,y) = 3x + 2y \) alcanza los valores máximo y mínimo y calcular dichos valores.

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Ejercicios de optimización - Enunciado 44

Determinar los extremos relativos de las funciones que se anotan a continuación, precisando si se trata de mínimos o máximos:
    \( y = x^3 - 3x^2 + 3x \, ; \, y = - 3x^2 + x + 1 \, ; \, y = x^3 - 2x^2 + x + 1 \)
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Ejercicios de optimización - Enunciado 45

Un cono circular, recto tiene una superficie lateral dada, A. Demostrar que cuando su volumen es máximo, la razón entre la altura y el radio de la base es \( \sqrt{2} : 1 \).
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Ejercicios de optimización - Enunciado 46

Aprovechando un largo muro de altura adecuada, queremos construir un corral rectangular de 200 metros cuadrados y para ello hemos pensado cerrar con tela metálica los tres lados restantes de una superficie rectangular para la que el muro será una de las paredes. Calcular las dimensiones de dicha superfcie rectangular para que el coste del corral sea mínimo.
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Ejercicios de optimización - Enunciado 47

De todos los rectángulos de igual perímetro \( 2p\) determinar las dimensiones del de área máxima.
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Ejercicios de optimización - Enunciado 48

Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura h.
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Ejercicios de optimización - Enunciado 49

¿Que dimensiones debe tener un depósito abierto con fondo cuadrado y con capacidad para V litros de tal modo que en su fabricación se utilice la menor cantidad posible de chapa.
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Ejercicios de optimización - Enunciado 50

Dóblese un alambre metálico de longitud m de tal modo que forme un rectángulo cuya área sea máxima.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto
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tema escrito por: José Antonio Hervás