PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 19.

El número de casos posibles que se pueden dar es N!. Si llamamos A i al suceso de que la carta i se introduzca en el sobre i, tenemos para dicho suceso :

    \( \displaystyle P(A_i) = \frac{(N-1)!}{N!} \)
y la probabilidad de que para algún par de cartas y sobres ocurra el suceso es :

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    P\left(\bigcup_{i=1}^N A_i \right) = \sum_{i=1}^NP(A_i)- \sum_{i=1}^NP(A_i\cap A_j)+ \\
     \\
    + \sum_{i=1}^NP(A_i\cap A_j\cap A_k)- \cdots = {N \choose 1}\frac{(N-1)!}{N!}-{N \choose 2}\frac{(N-2)!}{N!}+ \\
     \\
    + {N \choose 3}\frac{(N-3)!}{N!}- \cdots + (-1)^{N-1}{N \choose N}\frac{(N-N)!}{N!}
    \end{array}\)
Es evidente que la probabilidad de tener al menos 0 coincidencias es la unidad, puesto que podemos tener exactamente 0 coincidencias, o exactamente 1 coincidencia, o exactamente 2 coincidencias, etc.
Por otro lado , la probabilidad de tener exactamente 0 coincidencias será igual a la probabilidad total menos la probabilidad de tener alguna coincidencia, es decir :

    \( \displaystyle P_o = 1 - P\left(\bigcup_{i=1}^NA_i\right) = 1 - \left[1 - \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\cdots+ (-1)^{N-1}\frac{1}{N!} \right] \)
Podemos escribir así que la probabilidad de tener exactamente K coincidencias vendrá dada por :

    \( \displaystyle P_k = {N \choose k}\frac{(N-k)!}{N!}P_o^{N-k} \)
donde \( {N \choose k}\)denota el número de veces que puede haber k coincidencias, y \(P_o^{N-k}\) es la probabilidad de tener exactamente 0 coincidencias en (N-k) elecciones. Esta expresión se puede interpretar como sigue : \( {N \choose k}N!\) es la probabilidad de que haya k aciertos entre las N cartas, y nos quedan (N-k) para las que no debe existir ningún acierto (su probabilidad es \(P_o^{N-k}\). Como estas (N-k) cartas se pueden poner de (N-k)! formas distintas, tenemos la expresión dada, que también se puede escribir :

    \( \displaystyle P_k = \frac{1}{k!}\left[1-1+ \frac{1}{2!}- \frac{1}{3!}+ \cdots + (-1)^{N-k}\frac{1}{(N-k)!}\right] \)
Finalmente, la probabilidad de tener al menos k coincidencias vendrá dada por la probabilidad de tener exactamente k coincidencias más la probabilidad de tener exactamente k+1 coincidencias, etc, es decir :

    \( \displaystyle P\left(\bigcup_{i=k}^N B_i \right) = P_k + P_{k+1}+ \cdots + P_{N-2}+ P_{N-2} + P_N \)
Es fácil ver que se tiene

    \( \displaystyle P_{N-2}= \frac{1}{2!(N-2)!} \; ; \; P_{N-1 }= 0\; ; \; P_N = \frac{1}{N!} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás