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ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Se corta un triángulo de una lámina metálica delgada. Se lanza el triángulo al azar sobre un tablero rayado como en el problema de la aguja de Buffon. La distancia d entre cada dos rectas es mayor que cada uno de los lados del triángulo. ¿Cual es la probabilidad de que el triángulo tape un trozo cualquiera de una cualquiera de las rectas?

RESPUESTA DEL EJERCICIO 17.

Llamemos A , B Y C a los lados del triángulo, ya, b , c a sus longitudes respectivas. Si una recta corta al borde del triángulo, tiene que cortar a dos lados y solo a dos. Por tanto, si corta al triángulo, corta a A y B, o a A y C, o a B y C. Sean P(A, B) P(A, C) y P(B, C) las probabilidades respectivas de estos sucesos. Entonces la probabilidad total de que se produzca la intersección es :
P = P(A , B) + P(A , C) + P(B , C)
Pero las probabilidades respectivas P(A) , P(B) , P(C) de que una recta corte a uno cualquiera de los lados A , B , e se pueden expresar también, según la ley de la probabilidad total :
P(A) = P(A, B) + P(A, C) ; P(B) = P(A, B) + P(B, C) ; P(C) = P(A, C) + P(B, C)
y estas expresiones nos indican, por ejemplo, que la probabilidad de que sea cortado el lado A es igual a la probabilidad de que sean cortados los lados A y B ó los lados A Y C, y puesto que estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, lo uno implica lo otro. Las otras expresiones se traducen en la misma forma.

Sumando las tres ecuaciones se obtiene :
P(A) + P(B) + P(C) = 2.P(A, B) + 2.P(A, C) + 2.P(B, C) = 2.P
y, por tanto :

    \( \displaystyle P = \frac{P(A)+P(B)+P(C)}{2} \)
Podemos aplicar ahora el resultado del problema de la aguja de Buffón al cálculo de P(A) , P(B) y P(C) , ya que estas probabilidades dependen de las longitudes de los lados ; en consecuencia,

    \( \displaystyle P = \frac{\displaystyle \frac{2a}{\pi·d} + \frac{2b}{\pi·d}+ \frac{2c}{\pi·d}}{2} = \frac{a+b+c}{\pi·d} = \frac{perimetro}{\pi·d} \)
Nota.- En el estudio del problema hemos omitido el símbolo de intersección, pero es evidente que se tiene :

    \( P(A,B)= P(A\cap B)\; ; \;P(A,C) = P(A\cap C)\; ; \;P(B,C) = P(B\cap C) \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás