PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 17.

Llamemos A , B Y C a los lados del triángulo, ya, b , c a sus longitudes respectivas. Si una recta corta al borde del triángulo, tiene que cortar a dos lados y solo a dos. Por tanto, si corta al triángulo, corta a A y B, o a A y C, o a B y C. Sean P(A, B) P(A, C) y P(B, C) las probabilidades respectivas de estos sucesos. Entonces la probabilidad total de que se produzca la intersección es :
P = P(A , B) + P(A , C) + P(B , C)
Pero las probabilidades respectivas P(A) , P(B) , P(C) de que una recta corte a uno cualquiera de los lados A , B , e se pueden expresar también, según la ley de la probabilidad total :
P(A) = P(A, B) + P(A, C) ; P(B) = P(A, B) + P(B, C) ; P(C) = P(A, C) + P(B, C)
y estas expresiones nos indican, por ejemplo, que la probabilidad de que sea cortado el lado A es igual a la probabilidad de que sean cortados los lados A y B ó los lados A Y C, y puesto que estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, lo uno implica lo otro. Las otras expresiones se traducen en la misma forma.

Sumando las tres ecuaciones se obtiene :
P(A) + P(B) + P(C) = 2.P(A, B) + 2.P(A, C) + 2.P(B, C) = 2.P
y, por tanto :

    \( \displaystyle P = \frac{P(A)+P(B)+P(C)}{2} \)
Podemos aplicar ahora el resultado del problema de la aguja de Buffón al cálculo de P(A) , P(B) y P(C) , ya que estas probabilidades dependen de las longitudes de los lados ; en consecuencia,

    \( \displaystyle P = \frac{\displaystyle \frac{2a}{\pi·d} + \frac{2b}{\pi·d}+ \frac{2c}{\pi·d}}{2} = \frac{a+b+c}{\pi·d} = \frac{perimetro}{\pi·d} \)
Nota.- En el estudio del problema hemos omitido el símbolo de intersección, pero es evidente que se tiene :

    \( P(A,B)= P(A\cap B)\; ; \;P(A,C) = P(A\cap C)\; ; \;P(B,C) = P(B\cap C) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


tema escrito por: José Antonio Hervás