CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Se corta un triángulo de una lámina metálica delgada. Se lanza el triángulo
al azar sobre un tablero rayado como en el problema de la aguja de Buffon.
La distancia d entre cada dos rectas es mayor que cada uno de los lados
del triángulo. ¿Cual es la probabilidad de que el triángulo tape un trozo
cualquiera de una cualquiera de las rectas?
RESPUESTA DEL EJERCICIO 17.
Llamemos A , B Y C a los lados del triángulo, ya, b , c a sus
longitudes respectivas. Si una recta corta al borde del triángulo,
tiene que cortar a dos lados y solo a dos. Por tanto, si corta
al triángulo, corta a A y B, o a A y C, o a B y C. Sean P(A, B)
P(A, C) y P(B, C) las probabilidades respectivas de estos sucesos.
Entonces la probabilidad total de que se produzca la intersección
es :
P = P(A , B) + P(A , C) + P(B , C)
Pero las probabilidades respectivas P(A) , P(B) , P(C) de que
una recta corte a uno cualquiera de los lados A , B , e se pueden
expresar también, según la ley de la probabilidad total :
P(A) = P(A, B) + P(A, C) ; P(B) = P(A, B) + P(B, C)
; P(C) = P(A, C) + P(B, C)
y estas expresiones nos indican, por ejemplo, que la probabilidad
de que sea cortado el lado A es igual a la probabilidad de que
sean cortados los lados A y B ó los lados A Y C, y puesto que
estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, lo uno implica lo
otro. Las otras expresiones se traducen en la misma forma.
Sumando las tres ecuaciones se obtiene :
P(A) + P(B) + P(C) = 2.P(A, B) + 2.P(A, C) + 2.P(B,
C) = 2.P
y, por tanto :
\( \displaystyle P = \frac{P(A)+P(B)+P(C)}{2} \)
Podemos aplicar ahora el resultado del problema de la aguja de
Buffón al cálculo de P(A) , P(B) y P(C) , ya que estas probabilidades
dependen de las longitudes de los lados ; en consecuencia,
\( \displaystyle P = \frac{\displaystyle \frac{2a}{\pi·d} +
\frac{2b}{\pi·d}+ \frac{2c}{\pi·d}}{2} = \frac{a+b+c}{\pi·d}
= \frac{perimetro}{\pi·d} \)
Nota.- En el estudio del problema hemos omitido el símbolo de
intersección, pero es evidente que se tiene :
\( P(A,B)= P(A\cap B)\; ; \;P(A,C) = P(A\cap C)\; ; \;P(B,C)
= P(B\cap C) \)