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ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Se lanza una moneda y, si sale cara, se mete una bola negra en una urna; si sale cruz, se mete en la urna una bola blanca. Se hace esta operación cuatro veces. A continuación otra persona saca dos bolas simultáneamente de la urna, que resultan ser negras. ¿Cual es la probabilidad de que en la urna hubiera dos bolas blancas y dos negras?.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 12.

Debido al método utilizado para llenar la urna, existen cinco posibilidades para la distribución final del color de las cuatro bolas, y se puede calcular la probabilidad de que se produzca cada una de las distribuciones de colores. Son las siguientes :
grupos de 4 bolas blancas (B1) = 4!/4!0! = 1

grupos de 3 blancas y una negra (B2) = 4!/3!1! = 4

grupos de 2 blancas y 2 negras (B3) = 4!/2!2! = 6

grupos de 1 blanca y 3 negras (B4) = 4!/1!3! = 4

grupos de 4 bolas negras (B5) = 4!/0!4! = 1
En total tenemos 2n = 24 = 16 grupos, por lo que las probabilidades respectivas son :
P(B1) = 1/16 ; P(B2) = 4/16 ; P(B3) = 6/16 ; P(B4) = 4/16 ; P(B5) = 1/16
En el caso que estamos considerando, el suceso A (sacar dos bolas negras) no puede ocurrir con los antecedentes B, y B0, por lo que las probabilidades condicionadas P(A/B1) Y P(A/B2) tienen que ser nulas. Las otras tres probabilidades condicionadas se calculan como sigue : para la primera tenemos 1 caso favorable y 6 casos posibles que resultan del número de combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. Así pues:
P(A/B3 ) = 1/C(4, 2) = 1/6
Para la segunda y tercera, por una deducción análoga tenemos
P(A/B4) = C(3, 2)/C(4, 2) = 1/2 ; P(A/B5) = C(4, 2)/C(4, 2) = 1
Por lo tanto, la probabilidad buscada viene dada por la fórmula de Bayes

    \( \displaystyle P(B_3/A) = \frac{P(A/B_3)P(B_3)}{P(A/B_3)P(B_3)+P(A/B_4)P(B_4) +P(A/B_5)P(B_5)} = \)

    \(\displaystyle =\frac{ \displaystyle \frac{1}{6}\times\frac{6}{16}}{ \displaystyle \frac{1}{6}\times\frac{6}{16}+\frac{1}{2}\times\frac{6}{16}+(1)\times\frac{6}{16}}= \frac{1}{4} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás