CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Tres urnas, U₁ , U₂ , U₃ , contienen bolas blancas, negras y rojas en proporciones diferentes. U₁ contiene una bola blanca, dos negras y tres rojas; U₂ contiene dos bolas blancas, una negra y una roja, y U₃ contiene cuatro bolas blancas, cinco negras y tres rojas. Sacamos dos bolas de una urna, sin saber de que urna son. Si resulta que una bola es blanca y la otra es roja, calcúlense las probabilidades respectivas de que la urna de la cual se han sacado las bolas sea la U₁ , la U₂ ó la U₃.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 10.

Podemos suponer razonablemente que las tres urnas tienen la misma probabilidad de haber sido elegidas, por lo que tenemos P(U_i) = 1/3 (i = 1, 2, 3). Las probabilidades condicionadas del suceso A (sacar una bola blanca y otra roja, a la vez) las calculamos como sigue : En la urna U tenemos una bola blanca y tres rojas frente a 6 bolas en total. Esto supone que tenemos tres casos favorables dados por la bola blanca con cada una de las rojas y 15 casos posibles que resultan del número de combinaciones de 6 elementos tomados de dos en dos, C(6, 2) = 6!/2!(6-2)! = 15. Por todo ello, la probabilidad P(A/U₁) vale 3/15 = 1/5. De forma análoga obtenemos también P(A/U₂) = 1/3 P(A/U₃) = 2/11.

Sustituyendo estos valores en la fórmula de Bayes, obtenemos las probabilidades respectivas

\( \begin{array}{l} P(U_1/A) = \displaystyle \frac{(1/3)· (1/5)}{(1/3)(1/5) + (1/3)(1/3) + (1/3)(2/11)} = \frac{33}{118} \\ \; \\ P(U_2/A) = \displaystyle \frac{(1/3)· (1/3)}{(1/3)(1/5) + (1/3)(1/3) + (1/3)(2/11)} = \frac{55}{118} \\ \; \\ P(U_3/A) = \displaystyle \frac{(1/3)· (2/11)}{(1/3)(1/5) + (1/3)(1/3) + (1/3)(2/11)} = \frac{30}{118} \end{array}\)

Resulta evidente que la suma de los tres casos es la unidad.