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ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Tres urnas, U1 , U2 , U3 , contienen bolas blancas, negras y rojas en proporciones diferentes. U1 contiene una bola blanca, dos negras y tres rojas; U2 contiene dos bolas blancas, una negra y una roja, y U3 contiene cuatro bolas blancas, cinco negras y tres rojas. Sacamos dos bolas de una urna, sin saber de que urna son. Si resulta que una bola es blanca y la otra es roja, calcúlense las probabilidades respectivas de que la urna de la cual se han sacado las bolas sea la U1 , la U2 ó la U3.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 10.

Podemos suponer razonablemente que las tres urnas tienen la misma probabilidad de haber sido elegidas, por lo que tenemos P(Ui) = 1/3 (i = 1, 2, 3). Las probabilidades condicionadas del suceso A (sacar una bola blanca y otra roja, a la vez) las calculamos como sigue : En la urna U tenemos una bola blanca y tres rojas frente a 6 bolas en total. Esto supone que tenemos tres casos favorables dados por la bola blanca con cada una de las rojas y 15 casos posibles que resultan del número de combinaciones de 6 elementos tomados de dos en dos, C(6, 2) = 6!/2!(6-2)! = 15. Por todo ello, la probabilidad P(A/U1) vale 3/15 = 1/5. De forma análoga obtenemos también P(A/U2) = 1/3 P(A/U3) = 2/11.

Sustituyendo estos valores en la fórmula de Bayes, obtenemos las probabilidades respectivas

    \( \begin{array}{l} P(U_1/A) = \displaystyle \frac{(1/3)· (1/5)}{(1/3)(1/5) + (1/3)(1/3) + (1/3)(2/11)} = \frac{33}{118} \\ \; \\ P(U_2/A) = \displaystyle \frac{(1/3)· (1/3)}{(1/3)(1/5) + (1/3)(1/3) + (1/3)(2/11)} = \frac{55}{118} \\ \; \\ P(U_3/A) = \displaystyle \frac{(1/3)· (2/11)}{(1/3)(1/5) + (1/3)(1/3) + (1/3)(2/11)} = \frac{30}{118} \end{array}\)

Resulta evidente que la suma de los tres casos es la unidad.
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tema escrito por: José Antonio Hervás