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ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Tres personas, A, B, C, juegan lanzando una moneda cada una al dar una señal, y comparan los resultados. Gana el jugador cuya moneda cae en posición distinta de la de los otros dos; si las tres monedas caen en la misma posición, se repite el lanzamiento hasta que una sea diferente. Suponiendo que no se hacen trampas y que se usan monedas equilibradas, demuéstrese que todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar. Calcúlese la probabilidad de que, en una serie de seis partidas, C pierda, al menos cinco veces.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 9.

Vamos a representar por H o T los posibles resultados del lanzamiento de una moneda y enumerar los resultados en el orden de los jugadores A, B, C, con lo que podemos expresar los resultados posibles y designar a los ganadores como sigue
Casos en que gana C : (H , H , T) ; (T , T , H)

Casos en que gana B : (H , T , H) ; (T , H , T)

Casos en que gana A : (T , H , H) ; (H ;T , T)
Como hay seis resultados igualmente probables, y cada jugador gana en dos de ellos, todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar, es decir, 1/3. Si representamos por (W , L) el suceso de que el jugador C gane exactamente W veces y pierda exactamente L veces de un total de W+L partidas, el suceso E de que pierda al menos cinco de seis partidas se puede producir de dos formas mutuamente excluyentes, (l; 5) y (0; 6), cuyas respectivas probabilidades están dadas por la ley binomial. Por tanto:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} P(E) = P(1;5)+ P(0;6)= C(6;1)(1/3)^1(2/3)^5 + \\  \\ + C(6;0)(1/3)^0(2/3)^6 = \frac{6!}{1!5!}(1/3)^1(2/3)^5 + \\  \\+ \frac{6!}{0!6!}(1/3)^0(2/3)^6 = 0,2634 + 0,0872 = 0,3512 \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás