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ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

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Ejercicios de probabilidades

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Una experiencia puede dar k resultados posibles mutuamente excluyentes, R1, R2, … , Rk cuyas probabilidades respectivas son p1, p2, … , pk, siendo su probabilidad total igual a la unidad, es decir, p1 + p2 + … + pk = l. Si se ejecutan N pruebas independientes de la experiencia, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente n1 resultados del primer tipo, n2 del segundo,…, y nk del k-ésimo, siendo n1 + n2 + … + nk = l.= N?.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 6.

Como las pruebas son independientes, la probabilidad de obtener un resultado determinado cualquiera Ri en una prueba dada no está influida en absoluto por los resultados de otras pruebas. Por tanto, la probabilidad Ps de una sucesión determinada cualquiera de resultados es igual al producto de sus probabilidades incondicionales separadas y, por tanto,
    \( P_s = p_1^{n_1}·p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_i} \)
El número S de sucesiones distintas que dan el número deseado de resultados de cada clase es igual a Pm(N ; n1, n2,… , nk) y la probabilidad total P(n1, n2,… , nk) viene dada por el producto S.Ps ;por consiguiente :
    \( \displaystyle P(n_1, n_2 \cdots , n_k)= \frac{N!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}\times p_1^{n_1}·p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_i} \quad (*) \)
Esta expresión se conoce con el nombre de ley polinomial de la probabilidad. Esto procede del hecho de que el término general del desarrollo del polinomio (p1 + p2 + … + pk)N viene dado por una expresión del mismo tipo que la (*). El caso especial con k = 2, que corresponde a dos alternativas (E, ), se conoce como ley binomial (le la probabilidad. Si tenemos en cuenta que n2 = N-n1 y que p2 = l-p1; obtenemos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} P(n_1,n_2) = \frac{N!}{n!(N- n_1)!}\times p_1^{n_1}\times (1- p_1)^{N-n_1} = \\  \\ = C(N,n_1)p_1^{n_1}\times (1- p_1)^{N-n_1} \end{array} \)
puesto que la fórmula de las permutaciones para dos alternativas Pm(n , n1, n2) se reduce a la fórmula de combinaciones C(N , n1 ).
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tema escrito por: José Antonio Hervás