PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA

Sea el esquema de la figura. Una fuente puntual F ilumina una doble rendija situada a una distancia D. La luz procedente de la doble rendija se refleja en el espejo E situado a una distancia 3D, y atraviesa de nuevo dicha doble rendija.
interferómetro con doble rendija

Se pide calcular la distribución de intensidades sobre la pantalla P situada en el plano de la fuente (exclúyase el punto F).

RESPUESTA DEL EJERCICIO 59

El esquema interferométrico se reduce al representado en la figura adjunta.

interferómetro con doble rendija

Vamos a considerar un punto Q de la pantalla en el que interfieren las ondas procedentes de \(S_1 \; y \; S_2\). Por la simetría del sistema, la amplitud luminosa en ambas rendijas es la misma y viene dada por:

    \( \displaystyle \frac{A}{r}e^{ikr}\left(\frac{1}{d_1}e^{ikd_1} + \frac{1}{d_2}e^{ikd_2} \right) = A'\)

donde el término entre corchetes es un factor de propagación.
Por un proceso análogo, se obtiene que la amplitud resultante en Q será:

    \( \displaystyle A'\left(\frac{1}{l_1}e^{ikl_1} + \frac{1}{l_2}e^{ikl_2} \right) \)

Por lo que la intensidad luminosa en Q valdrá:

    \( \displaystyle I(Q) =\left(A' \left(\frac{1}{l_1}e^{ikl_1} + \frac{1}{l_2}e^{ikl_2} \right)\right)\left(A'^* \left(\frac{1}{l_1}e^{-ikl_1} + \frac{1}{l_2}e^{-ikl_2} \right)\right)\)

Si consideramos ahora que \(l_1 \simeq l_2\), y que \(d_1 \simeq d_2\), podemos operar en la expresión anterior para obtener:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} I(Q) = |A'|^2\frac{4}{l^2}\cos^2 \left[\frac{k(l_1-l_2)}{2}\right]= \\  \\ = \frac{A^2}{r^2}\frac{4}{d^2}\frac{4}{l^2}\cos^2 \left[\frac{k(d_1-d_2)}{2}\right]\cos^2 \left[\frac{k(l_1-l_2)}{2}\right] \end{array} \)

donde se tienen los valores:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} d_1= 6D \;; \; d_2 = \sqrt{(6D)^2 + s^2} \\ \\ l_1-l_2 = \sqrt{D^2 + (\frac{1}{2}s + y)^2}- \sqrt{D^2 +(\frac{1}{2}s - y)^2} = \\ \\ = D\left\{1 + \frac{1}{2D}(\frac{1}{2}s + y)\right\}^2 - D\left\{1 + \frac{1}{2D}(\frac{1}{2}s - y)\right\}^2 \simeq \frac{sy}{D} \end{array}\)

Sustituyendo estos valores en la expresión de I(Q) nos queda:

    \( \displaystyle I(Q) = I_o\cos^2 \frac{ksy}{2D} \)

Los máximos y mínimos vendrán dados respectivamente por:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \max : \frac{ksy}{2D} = m\pi \Rightarrow y_\max = \lambda\frac{mD}{s} \\ \\ \\ \min : \frac{ksy}{2D} = (2m+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow y_\max = \lambda(2m+1)\frac{D}{2s} \end{array}\)

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tema escrito por: José Antonio Hervás