PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA

Sea el sistema óptico de tipo Maeh-Zehnder representado en la figura. Un frente plano incide sobre la lámina separadora \( L_1 \), dividiéndose en dos haces de amplitudes iguales.
interferómetro de tipo Maeh-Zehnder
En uno de sus brazos situamos una cuña C de vidrio, de índice de refracción n y ángulo \( \theta \), perpendicularmente a la marcha del haz. El haz reflejado en el espejo \( E_1\) y el transmitido a través de la cuña, llegan a la lámina separadora \( L_2\) que los hace incidir sobre la pantalla P. Se pide:
    a) Escribir las expresiones de las ondas transmitida por C y reflejada por \( E_1\)
    b) Calcular la interfranja de la figura de interferencia sobre P.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 58

La cuña de vidrio C varía la dirección de propagación del haz de ondas plano que incide perpendicularmente sobre la cara izquierda (en el dibujo) manteniendo constante en módulo la amplitud (suponiendo que las pérdidas por reflexión en la cara derecha son despreciables). Si la onda plana incidente en C es de la forma exp(i.kr), con k=(0,k) veamos su expresión a la salida.

interferómetro de tipo Maeh-Zehnder

Considerando el esquema adjunto y aplicando la ley de Snell tenemos:

    \( \begin{array}{l} n\sin \theta = 1\sin \alpha \Rightarrow \alpha = \arcsin (n\sin \theta) \\ \\ \vec{k}' = (- kx\sin (\alpha - \theta), kx\cos (\alpha - \theta)) \end{array}\)

Y la onda emergente será de la forma:

    \( \exp(i\vec{k}'\vec{r} ) = \exp\left\{ik[z\cos (\alpha - \theta)- x\sin (\alpha - \theta)]\right\}\)

La onda que procede de \(E_1\) no sufre ninguna desviación, por tanto se expresará en la forma: exp(ik.z). De este modo, en la pantalla P, se superponen las dos ondas dando:

    \( e^{ikz} + e^{i\vec{k}'\vec{r}} \Rightarrow I_p(x) = \left(e^{ikz} + e^{i\vec{k}'\vec{r}}\right)\left(e^{-ikz} + e^{-i\vec{k}'\vec{r}}\right)\)

Operando y teniendo en cuenta el valor de \(\vec{k}'\) nos queda:

    \( I_p(x) = 2\left\{1 + \cos k \{z[1 - \cos(\alpha - \theta)] + x\sin(\alpha - \theta)\}\right\}\)

Los máximos de intensidad aparecerán para puntos x tales que:

    \( \begin{array}{l} \cos k \{z[1 - \cos(\alpha - \theta)] + x\sin(\alpha - \theta)\} = 1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow k \{z[1 - \cos(\alpha - \theta)] + x\sin(\alpha - \theta)\} = 2m\pi \; ; \; \\ \textrm{ con } m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{array}\)

La interfranja o distancia entre máximos viene dada en la expresión anterior por:

    \( \displaystyle \triangle x = x_{m+1} - x_m = \frac{2\pi}{k\sin(\alpha - \theta)} = \frac{\lambda}{\sin(\alpha - \theta)} \)

Y la figura de interferencias que se obtiene en la pantalla son franjas perpendiculares al eje X y equidistantes, por ser \(\triangle x = \lambda / \sin(\alpha - \theta)\).

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tema escrito por: José Antonio Hervás