PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

En un esquema interferométrico del tipo Young, como se muestra en la figura, la fuente puntual luminosa F se ha desplazado verticalmente una cantidad h. Calcular la distribución de intensidades sobre la pantalla.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 56

De la figura podemos obtener:

\( \displaystyle \begin{array}{l} r_1 = \sqrt{d^2 + (h+\frac{1}{2}·s)^2} \quad ; \quad r_2 = \sqrt{d^2 + (h-\frac{1}{2}·s)^2} \\ \\ \rho_1 = \sqrt{D^2 + (y_o+\frac{1}{2}·s)^2} \quad ; \quad \rho_2 = \sqrt{D^2 + (y_o-\frac{1}{2}·s)^2} \\ \\ \triangle = r_1 - r_2 \simeq \frac{h·s}{d} \quad ; \quad \triangle' = \rho_1 - \rho_2 \simeq \frac{y_o·s}{D} \end{array}\)

Las amplitudes luminosas en \(s_1 \; y\; s_2\) son respectivamente:

\( \displaystyle \left(\frac{A}{r_1}\right)·\exp(ik·r_1)\quad ; \quad \left(\frac{A}{r_2}\right)·\exp(ik·r_2) \)

En un punto P de la pantalla donde interfieren las ondas procedentes de \(s_1 \; y\; s_2\), la amplitud luminosa será:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{A'_1}{\rho_1}\right)·\exp(ik·\rho_1)+ \left(\frac{A'_2}{\rho_2}\right)·\exp(ik·\rho_2)\quad ; \\  \\ \textrm{ con } A'_1 \;y\; A'_2 \textrm{ amplitudes en } s_1 \; y \; s_2 \end{array} \)

Tenemos entonces que la intensidad en dicho punto P vendrá dada por:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \left[\frac{A}{r_1·\rho_1}e^{ik(r_1 + \rho_1)} + \frac{A}{r_2·\rho_2}e^{ik(r_2 + \rho_2)}\right] \\  \\ \left[\frac{A}{r_1·\rho_1}e^{-ik(r_1 + \rho_1)} + \frac{A}{r_2·\rho_2}e^{-ik(r_2 + \rho_2)}\right] \end{array} \)

Si suponemos que \(r_1·\rho_1 \simeq r_2·\rho_2\), la anterior expresión nos queda:

\( \displaystyle \begin{array}{l} I(y_o) = \frac{2A^2}{r_1^2\rho_1^2}\{1 + \cos k[(r_1 + \rho_1)- (r_2 + \rho_2)]\} = \\  \\ = \frac{2A^2}{r_1^2\rho_1^2}\left\{1 + \cos k·s\left[\frac{h}{d} + \frac{y_o}{D}\right]\right\} \end{array} \)

Y la intensidad será máxima cuando se tenga:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \cos k·s\left(\frac{h}{d} + \frac{y_o}{D}\right) = 1 \Rightarrow k·s\left(\frac{h}{d} + \frac{y_o}{D}\right) = 2m\pi \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y_{o_\max} = \left(\frac{m\lambda}{s} - \frac{h}{d}\right)D \end{array} \)

Donde m recorre el conjunto de los enteros, es decir \(m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\)

Análogamente, el valor mínimo de la intensidad será cuando:

\( \displaystyle \begin{array}{l} k·s\left(\frac{h}{d} + \frac{y_o}{D}\right) = (2m+ 1)\pi \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y_{o_\min} = \left(\lambda\frac{m + 1}{2s} - \frac{h}{d}\right)D \quad ; \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{array} \)

y el centro de la figura de interferencias vendrá dado por:

\( \displaystyle k·s\left(\frac{h}{d} + \frac{y_o}{D}\right) = 0 \Rightarrow y_{o,central} = - \frac{h·D}{d}\)

Si la fuente se desplaza verticalmente hacia arriba una distancia h, la figura de interferencia se desplaza hacia abajo una distancia \(-hD/d\) .