PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA

Sean dos ondas planas formando ángulos \( \alpha\; y \;\beta \) con el eje x (ver fig.) incidentes sobre el plano x=0, donde está colocada una placa fotográfica registrándonos su interferencia. Si las dos ondas tienen la misma longitud de onda y sus amplitudes son \( A_1\; y\; A_2 \) se pide:

a) Calcular la posición de los máximos sobre la placa, así como el valor de la interfranja.
b) Si la placa permite resolver 2000 líneas por mm, es decir, separa máximos situados a 1/2000 mm de distancia, y si hacemos incidir una onda plana formando un ángulo de 30º con la normal a la emulsión, ¿cuál será el ángulo máximo \( \beta \) con el que podemos hacer incidir otro frente de ondas plano para que la emulsión nos resuelva la interferencia \( \lambda = 6000 A\) ?

interferómetro con placa fotográfica
RESPUESTA DEL EJERCICIO 51

Los vectores de onda para cada una de ellas serán:
    \( \displaystyle \vec{k}_1 = k(\cos \alpha, -\sin\alpha)\quad ; \quad \vec{k}_2 = k(\cos \beta, \sin\beta)\quad ; \quad \textrm{ con } k= \frac{2\pi}{\lambda} \)

Asimismo, las amplitudes de cada onda plana, en notación compleja, se escribirán:

    \(\begin{array}{l} u_1 = A_1\exp \left[ik(x\cos \alpha, -y\sin\alpha)\right]\; ; \\  \\ u_2 = A_2\exp \left[ik(x\cos \beta, y\sin\beta)\right] \end{array}\)

La amplitud total sobre un punto será la suma de ambas, y la intensidad valdrá:

    \(\begin{array}{l} I = u_Tu_T^* = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \\  \\ \cos \left\{k\left[x(\cos \alpha- \cos\beta )- y(\sin\alpha + \sin\beta)\right]\right\} \end{array}\)

Tal como se plantea en el enunciado, como plano de observación para colocar la placa de registro, escogeremos el x=0. Con ello no perdemos generalidad, ya que para otro valor de x se nos introduciría un término de fase constante que no repercute en el valor de la interfranja. Según esto, la intensidad nos quedará:

    \( I = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos \left\{k·y(\sin\alpha + \sin\beta)\right\}\)

El valor de I será máximo o mínimo según que \( \cos [ky(\sin\alpha + \sin\beta)] \) valga +1 ó -1, respectivamente. De ahí se tiene:

    \( \displaystyle ky(\sin\alpha + \sin\beta) = 2\pi n \;; \; y_\max = \frac{n\lambda}{\sin\alpha + \sin\beta}\; ; \; n = 0,1, 2, \cdots \)

y el valor de la interfranja será:

    \( \displaystyle (\triangle y) = \frac{n\lambda}{\sin\alpha + \sin\beta} \)

b) Para que la emulsión nos resuelva la interferencia, se tiene que cumplir:

    \( \displaystyle \triangle y = \frac{1}{2000} \leq \frac{\lambda(= 610^{-4} mm)}{\sin\alpha + \sin\beta(= 30 )} \Rightarrow \sin \alpha\leq 0,7 \)

Luego el ángulo \(\alpha\) máximo será aquel cuyo seno valga 0,7, es decir, aprox. \(\alpha = 45º\)

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tema escrito por: José Antonio Hervás