PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de óptica y ondas

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

RESPUESTA DEL EJERCICIO 42

La superficie definida, S,es el casquete esférico que se muestra en la figura
casquete esférico
La amplitud total sobre él será, la suma de la onda plana eikz y la onda esférica eikr para la que se tiene:
    \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
Según eso,la intensidad total valdrá:
    \(I(x,y) = |A_p|^2 + |A_e|^2 + 2 |A_p| |A_e| \cos \left [k \left( z- \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\right) \right]\)
Siendo \( | A_p| \; y \; |A_e| \) los módulos de las amplitudes de las dos ondas que interfieren. Como la interferencia se considera sobre S, habrá de cumplirse
    \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 4\)
Y, por lo tanto:
    \( z = \displaystyle \sqrt{R^2 - x^2 - y^2 } = R \sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} \; \Rightarrow \)

    \(z - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = z - R = \displaystyle R \left[\sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} - 1\right] \)
Si suponemos además que \( x^2 + y^2 << R^2 \), entonces podemos escribir
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} \simeq 1 - \frac{x^2 + y^2}{2R^2} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow R \left[\sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} - 1\right] \simeq - \frac{x^2 + y^2}{2R} \end{array}\)
Y la intensidad sobre S valdrá:
    \(I(x,y) = \displaystyle |A_p|^2 + |A_e|^2 + 2 |A_p| ˇ |A_e| ˇ \cos \left [k \left( \frac{x^2 + y^2}{2R}\right) \right]\)
La figura de interferencias serán círculos alternativamente claros y oscuros

Si ponemos \( x^2 + y^2 = \rho^2 \), el radio \( \rho_{max} \) de los máximos consecutivos vendrá dado por
    \( \displaystyle \cos \left [k \left( \frac{x^2 + y^2}{2R}\right) \right] = 1 \Rightarrow \rho = \sqrt{2R ˇ \lambda m} \)
con m = 0, 1, 2, 3, ...

Y la separación entre los máximos de orden n y orden m+1 valdrá
    \(\triangle \rho_{m+1, m} = \sqrt{2R ˇ \lambda (m+1)} - \sqrt{2R ˇ \lambda m} \)
con R = 2, en nuestro caso.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÓPTICA Y ONDAS



tema escrito por: José Antonio Hervás