PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Calcular el modelo de interferencias producido por una, fuente puntual situada en (0,0,0) y una onda plana eikz sobre la superficie
    \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \qquad ; \qquad 1 \leq z \leq 2 \)
Estudiar la separación de los máximos y mínimos consecutivos.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 42

La superficie definida, S,es el casquete esférico que se muestra en la figura
casquete esférico
La amplitud total sobre él será, la suma de la onda plana eikz y la onda esférica eikr para la que se tiene:
    \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
Según eso,la intensidad total valdrá:
    \(I(x,y) = |A_p|^2 + |A_e|^2 + 2 |A_p| |A_e| \cos \left [k \left( z- \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\right) \right]\)
Siendo \( | A_p| \; y \; |A_e| \) los módulos de las amplitudes de las dos ondas que interfieren. Como la interferencia se considera sobre S, habrá de cumplirse
    \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 4\)
Y, por lo tanto:
    \( z = \displaystyle \sqrt{R^2 - x^2 - y^2 } = R \sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} \; \Rightarrow \)

    \(z - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = z - R = \displaystyle R \left[\sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} - 1\right] \)
Si suponemos además que \( x^2 + y^2 << R^2 \), entonces podemos escribir
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} \simeq 1 - \frac{x^2 + y^2}{2R^2} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow R \left[\sqrt{1 - \left(\frac{x^2 + y^2}{R^2}\right)} - 1\right] \simeq - \frac{x^2 + y^2}{2R} \end{array}\)
Y la intensidad sobre S valdrá:
    \(I(x,y) = \displaystyle |A_p|^2 + |A_e|^2 + 2 |A_p| ˇ |A_e| ˇ \cos \left [k \left( \frac{x^2 + y^2}{2R}\right) \right]\)
La figura de interferencias serán círculos alternativamente claros y oscuros

Si ponemos \( x^2 + y^2 = \rho^2 \), el radio \( \rho_{max} \) de los máximos consecutivos vendrá dado por
    \( \displaystyle \cos \left [k \left( \frac{x^2 + y^2}{2R}\right) \right] = 1 \Rightarrow \rho = \sqrt{2R ˇ \lambda m} \)
con m = 0, 1, 2, 3, ...

Y la separación entre los máximos de orden n y orden m+1 valdrá
    \(\triangle \rho_{m+1, m} = \sqrt{2R ˇ \lambda (m+1)} - \sqrt{2R ˇ \lambda m} \)
con R = 2, en nuestro caso.

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tema escrito por: José Antonio Hervás