PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Calcular la desviación de un rayo monocromático después de una reflexión parcial en una gota de agua y mostrar que la desviación pasa por un valor extremo, lo que permite definir una incidencia eficaz para la desviación.

Explicar así la formación del arco iris, calculando las desviaciones eficaces de las luces amarilla, roja y violeta, para las que el índice del agua es, respectivamente, na = 1,333; nr = 1,329; nv = 1,342. Explicar así mismo la formación del segundo arco.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 30

El ángulo de desviación dependerá de la incidencia, pero hay un ángulo de incidencia para el cual δ es estacionario para un entorno de i.

un rayo incidiendo sobre una gota

Operando con los ángulos y por consideraciones geométricas tenemos que la recta PQ es la bisectriz del ángulo δ. El ángulo POC es igual al r, por ser OP = OC = radio. De ese modo:

    \( \displaystyle \frac{1}{2}\delta + (i-r) + (\pi - r)= \pi\Rightarrow \frac{1}{2}\delta + i - 2r = 0\Rightarrow \delta = 4r - 2i \)

Y derivando la anterior expresión:

    \( \displaystyle \frac{d\delta}{di} = 4ˇ\frac{dr}{di} - i \)

Necesitamos conocer (dr/di) y para ello aplicamos la ley de la refracción para el caso en que el rayo incide desde el vacío.

    \( \displaystyle \sin i = nˇ\sin r \Rightarrow \cos iˇdi = nˇ\cos rˇdr \Rightarrow \frac{dr}{di} = \frac{1}{n}ˇ\frac{\cos i}{\cos r} \)

Sustituyendo este valor en la expresión anterior e igualando a cero obtenemos:

    \( \displaystyle \frac{4}{n}ˇ\frac{\cos i}{\cos r} - 2 = \frac{d\delta}{di} = 0 \)

Y haciendo operaciones:

    \( \displaystyle \frac{\cos i}{\cos r} = \frac{n}{2} \; ; \; \cos^2 i = \frac{n^2}{4}ˇ \cos^2 r \quad (A) \)

Podemos ahora eliminar cos r teniendo en cuenta de nuevo la ley de refracción.

    \( \displaystyle \cos^2 r = 1 - \sin^2 r = 1 - \frac{1}{n^2}ˇ\sin^2 i = 1 - \frac{1}{n^2}(1 - \cos^2 i) \)

Y sustituyendo en (A):

    \( \displaystyle \cos^2 i = \frac{n^2}{4}\left[1 -\frac{1}{n^2}(1 - \cos^2 i) \right]\Rightarrow \cos^2 i = \frac{1}{3}(n^2 - 1)\quad (B) \)

Que es el valor del ángulo de incidencia que nos expresa la condición de estabilidad. Aplicando en (B) los datos del enunciado, se obtienen las desviaciones eficaces de las luces amarilla, roja y violeta y, puesto que son distintas para cada caso, tenemos la explicación de cómo se forma el arco iris.

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tema escrito por: José Antonio Hervás