PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

El compensador de Jamin, representado en la figura adjunta, es un dispositivo que permite introducir una diferencia de camino graduable entre dos haces paralelos. El compensador de Jamin está formado por dos láminas de caras paralelas del mismo espesor e índice, que forman entre si un ángulo α. En posición simétrica, cada una es atravesada por un haz bajo la misma incidencia , i = α/2 y es nula la diferencia de camino introducida.


    Calcular la diferencia de camino que introduce al girar un pequeño ángulo δi.

    Calcular el espesor de las láminas necesario para que introduzcan una diferencia de marcha de 10.λ, al girar el dispositivo un ángulo α/2. Datos λ = 546 nm; n = 3/2; α = 12 º.


RESPUESTA DEL EJERCICIO 29

camino óptico

Consideremos una lámina de espesor “e” e índice n. el camino óptico recorrido por un rayo que atraviesa la lámina desde H hasta Q es:

    \( HI + n·II' + I'Q \)

Si el rayo no atravesara la lámina, el camino recorrido sería:

    \( OP + PI" + I"R \)

Y de la figura adjunta tenemos:

    \( OP = HI \; ; \; I'Q = I"R \)

Por lo que la diferencia de caminos, δ, vendrá dada por:

    \( \delta = n·II' - PI" \)

Pero tenemos:

    \( \displaystyle II'·\cos r = e \; ; \; PII" = II'· \cos (i-r)\Rightarrow PI" = \frac{e}{\cos r}\cos (i-r) \)

Con lo que nos queda:

    \( \displaystyle \delta = n·II' - PI" = n·\frac{e}{\cos r}- \frac{e}{\cos r}\cos (i-r) \)

Teniendo en cuenta varias equivalencias trigonométricas y la ley de Snell podemos desarrollar esta expresión:

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    n·\frac{e}{\cos r}- \frac{e}{\cos r}\cos (i-r) = \\
     \\
    = n·\frac{e}{\cos r}- \frac{e·\cos i·\cos r + e· \sin i·\sin r}{\cos r} = \\
     \\
    = \frac{ n·e e·\cos i·\cos r + e·n·\sin^2 r}{\cos r} = \\
     \\
    = \frac{n·e e·\cos i·\cos r - n·e + e·n·\cos^2 r}{\cos r} = \\
     \\
    = n·e·\cos r - e·\cos i \qquad (1)
    \end{array}\)

Donde hemos aplicado la ley de Snell :

    \( n_1·\sin i = n_2·\sin r \)

Con n1 = 1,n2 = 2.

Pasamos ahora a considerar el compensador de Jamin. Con el dispositivo en posición simétrica, tal como se muestra en la figura adjunta y, puesto que se trata de láminas iguales, la diferencia de camino introducida en conjunto es nula.

compensador de Jamin en posición simétrica

Cuando se gira un ángulo δi , el rayo 1 disminuye en incidencia y el rayo 2 aumenta, con lo que se produce una diferencia de caminos.
Si consideramos la aproximación:

    \( \displaystyle \cos \beta = 1 - \frac{\beta^2}{2!} + \ldots \)

Y tenemos en cuenta la ley de la refracción para el caso de que uno de los medios sea el vacío:

    \( \sin i = n·\sin r \Rightarrow i = n·r \)

(Por aproximación cuando los ángulos son pequeños), podemos escribir en (1):

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \delta = n·e\left(1- \frac{r^2}{2!}\right)- e\left(1- \frac{i^2}{2!}\right)= \\
     \\
    = n·e\left(1- \frac{i^2}{2n^2}\right)- e\left(1- \frac{i^2}{2!}\right) = \\
     \\
    = e(n-1) - \frac{e}{2}\left(\frac{1}{n}- 1\right)i^2 \\

    \end{array}\)

Siendo los ángulos variados:

    Para el rayo 1 : \( \left(\frac{\alpha}{2}- \Delta i \right) = i_1 \) ; Para el rayo 2 \(\left(\frac{\alpha}{2}+ \Delta i \right) = i_2\)

Y, por tanto:

    \( \displaystyle \delta_1 = (n-1)e - \frac{e}{2}\left(\frac{1}{n}-1\right)\left(\frac{\alpha}{2}- \Delta i \right)^2 \)

    \( \displaystyle \delta_21 = (n-1)e - \frac{e}{2}\left(\frac{1}{n}-1\right)\left(\frac{\alpha}{2}+ \Delta i \right)^2 \)

Con lo que finalmente resulta:

    \( \displaystyle \delta = \delta_1 - \delta_2 = \alpha·e \left(1-\frac{1}{n}\right)\Delta i \)

Que sería la diferencia de caminos introducida al girar un pequeño ángulo δi .
El apartado b) se calcula sin más que sustituir los datos del enunciado en la última expresión obtenida:

    \( \displaystyle n= \frac{3}{2} \; ; \; \lambda = 546\: nm \; ; \; \Delta i = \frac{\alpha}{2}= 6º \)

Y despejar “e” en función de ellos.

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tema escrito por: José Antonio Hervás