PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

RESPUESTA DEL EJERCICIO 25

Las amplitudes se pueden calcular directamente a partir de las fórmulas de Fresnel
    \( \displaystyle \begin{matrix}A'_p = \frac{n_2\cos\varphi - n_1\cos \varphi"}{n_2\cos\varphi + n_1\cos \varphi"}A_p \; ; \; A"_p = \frac{n_1\cos\varphi }{n_2\cos\varphi + n_1\cos \varphi"}A_p \\ \\A'_a = \frac{n_2\cos\varphi - n_1\cos \varphi"}{n_2\cos\varphi + n_1\cos \varphi"}A_a \; ; \; A"_a = \frac{n_1\cos\varphi }{n_2\cos\varphi + n_1\cos \varphi"}A_a \end{matrix} \; (*) \)
Pero previamente hay que calcular la amplitud incidente en el plano de incidencia. Para ello es preciso efectuar una rotación según el eje Z, y con un ángulo α tal que:

    \( \displaystyle \alpha = \arctan \left(\frac{k_y}{k_x}\right)= \arctan \left(\frac{3}{-1}\right)\; ; \; \tan \alpha = -3 \)

Y esto nos lleva a:

    \( \displaystyle \begin{matrix}k_{lx} = k_x·\cos \alpha +k_y·\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{10}}+ 3·\left(\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)= - \sqrt{10} \\ \\k_{ly} = k_x·\sin \alpha +k_y·\cos\alpha = \left(\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)+ 3·\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)= 0 \end{matrix} \)

Y además:

    \( \begin{array}{l} A_x = E_x·\cos \alpha +E_y·\sin\alpha = 0\; ; \\  \\ A_y = E_x·\sin \alpha +E_y·\cos\alpha =\sqrt{10} \end{array}\)

Por lo que podemos escribir:

    \( \displaystyle E_1 = \left(0,\; \sqrt{10},\; 0\right)e^{i(ky-wt)}\; ; \; k_1 = \left(-\sqrt{10},\;0 ,\; 2\right)\frac{2\pi}{\lambda\sqrt{14}} \)

Con lo que tendremos para la superficie de incidencia:

    \( \displaystyle \varphi' = \arctan\left|\frac{k^{lx}}{k^{lz}}\right|= \arctan\left|\frac{\sqrt{10}}{2}\right| = \) ángulo de reflexión

Aplicando ahora la ley de Snell, obtenemos el ángulo de transmisión:

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \varphi = \varphi' \Rightarrow n_1·\sin \varphi =n_2·\sin \varphi" \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \sin \varphi" = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)·\sin \varphi = \frac{1,3}{1,5}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}
    \end{array} \)

Donde el valor de sin φ lo hemos obtenido de:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \tan \varphi = \frac{\sqrt{10}}{2} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \sin \varphi = \frac{\tan\varphi}{1+\tan^2 \varphi} = \frac{\sqrt{10}/2}{\sqrt{1+ (10/4)}}= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \end{array} \)

Utilizando las ecuaciones de Fresnel (*), con \(A_p = 0 \; y \; A_a = \sqrt{10}\) , resulta:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} A'_{p_1} = 0 \; ; \; A"_{p_1} = 0 \; ; \;A'_{a_1} = -\frac{\sin(\varphi-\varphi" )}{\sin(\varphi+\varphi" )}\sqrt{10}\; ; \\  \\ \;A"_{a_1} = -\frac{2\sin\varphi"·\cos\varphi )}{\sin(\varphi+\varphi" )}\sqrt{10} \end{array} \)

Y la amplitud del campo reflejado será:

    \( E' = \left(A'_{p_1} \; , \; A'_{a_1}\; , \; 0\right) \)

El rayo refractado sufre una segunda refracción en la otra cara de la lámina. En este caso, n2 coincide con n1 del caso anterior por lo que:

    \( \varphi"_{2ª cara} = \varphi \)

Utilizando de nuevo las ecuaciones de Fresnel tendremos:

    \( \displaystyle A"_{p_2} = 0\; ; \;A"_{a_2} = -\frac{2\sin\varphi"·\cos\varphi )}{\sin(\varphi+\varphi" )}\times A"_{a_1} \)

Y la amplitud total transmitida será:

    \( E' = \left(A"_{p_2} \; , \; A"_{a_2}\; , \; 0\right) =\left(0 \; , \; A"_{a_2}\; , \; 0\right) \)

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÓPTICA Y ONDAS



tema escrito por: José Antonio Hervás