PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

RESPUESTA DEL EJERCICIO 24

Utilizando las definiciones de los parámetros de Stokes dadas por las fórmulas:

    \(\left.
    \begin{array}{c}
    s_0= a_1^2 + a_2^2 \; ; \; s_1 = a_1^2 - a_2^2 \\
     \\
    s_2 = a_1a_2\cos \delta\; ; \; s_2 = a_1a_2\sin \delta \\
    \end{array}
    \right\}\; (*) \)

Y considerando los valores del enunciado, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} a_1 = \sqrt{\frac{3+\sqrt{2}}{2}}\; ; \; a_2 =\sqrt{\frac{3-\sqrt{2}}{2}}\; ; \\  \\ tg \delta = - \frac{\sqrt{3}}{2}\; ; \; \delta = \arctan \left(- \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{array} \)

Tomando entonces δ1 = 0 y sustituyendo en las expresiones del campo eléctrico dadas por

    \(E_x = a_1·\cos (\tau + \delta_1)\; ; \; E_y = a_2·\cos (\tau + \delta_2) \; ; \; E_z = 0 \)

llegamos al resultado:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} E_x = \sqrt{\frac{3+\sqrt{2}}{2}}·\cos(wt-kr)\; ; \\  \\ E_y = \sqrt{\frac{3-\sqrt{2}}{2}}·\cos(wt-kr + \delta) \; ; \; E_z = 0 \end{array} \)

b) para saber qué punto de la esfera de Poincaré le corresponde a la radiación dada, tenemos:

    \( \displaystyle \tan \alpha = \frac{a_2}{a_1}= \sqrt{\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}} \)
    \( \displaystyle \sin 2\beta = \sin 2\alpha \sin \delta = - \frac{\sqrt{3}}{3} \; ; \; tg 2\psi = \tan 2\alpha \cos \delta = \sqrt{2} \)

Las coordenadas del punto en la esfera son, entonces:

    \( \begin{array}{l} s_1 = s_0·\cos 2\beta·\cos 2\psi\; ; \\  \\ s_2 = s_0·\cos 2\beta·\sin 2\psi\; ; \;s_3 = s_0·\sin 2\beta \end{array}\)

Y estos valores coinciden con los del enunciado para (s1, s2, s3).

Cómo a1 es distinto de a2, la polarización es elíptica y, además:

    \( \displaystyle \sin \delta < 0 \; ; \; - \frac{\pi}{2}< 2\beta < 0 \Rightarrow - \frac{\pi}{4}< \beta < 0 \)

Y tenemos polarización a izquierdas.
Por todo lo visto, el punto representativo se encuentra en la semiesfera inferior.
c) Puesto que hemos visto que la polarización es elíptica, calculamos el valor del ángulo ψ. A partir de lo encontrado en el apartado anterior, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \tan 2\psi = \sqrt{2}= \frac{2\tan \psi}{1-\tan^2 \psi}\; ; \\  \\ \tan 2\psi\tan^2\psi + 2\tan\psi -\tan 2\psi = 0 \Rightarrow \tan\psi = \left\{ \begin{matrix}+1 \\ \\-3 \end{matrix}\right. \end{array} \)

Estos dos valores corresponden respectivamente a cada eje de la elipse. Tomando el correspondiente al primer cuadrante, resulta para ψ un valor de 45 º.

Para calcular los semiejes de la elipse utilizamos las fórmulas:

    \( \displaystyle \left(\frac{b}{a}\right) = \tan \beta = \sqrt{3} - \sqrt{2}\; ; \; a^2 + b^2 = a_1^2 + a_2^2 =3 \)

Resolviendo el sistema anterior para a y b, obtenemos los valores:

    \( \displaystyle a = \sqrt{\frac{5(\sqrt{6}-1)}{2}}\; ; \; b= \sqrt{\frac{5(\sqrt{6}-1)}{2}}\times (\sqrt{3}- \sqrt{2}) \)

d) Cómo el polarizador forma un ángulo de 45 º con el eje X, la radiación emergente es la componente en la dirección ξ, por lo tanto, siendo:

    \( \displaystyle E_\xi = a·\cos(\tau + \delta_0) \)

El campo eléctrico vendrá dado a partir de las ecuaciones:

    \( \begin{array}{l} E_\xi = E_x·\cos \psi + E_y·\sin \psi\; ; \\  \\ E_\eta =- E_x·\sin \psi + E_y·\cos \psi\; ; \; E_z = 0 \end{array}\)

Operando con este sistema, resulta finalmente:

    \( \begin{array}{l} E_x = a·\cos \psi·\cos(wt-kr)\; ; \\  \\ E_y = a·\sin \psi·\cos(wt-kr+\delta)\; ; \; E_z = 0 \end{array}\)

Y teniendo en cuenta los valores numéricos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} E_x = \frac{1}{2}·\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}·\cos(wt-kr)\; ; \\  \\ E_y = \frac{1}{2}·\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}·\cos(wt-kr+\delta) \end{array} \)

Finalmente, para encontrar el valor de sus parámetros de Stokes, aplicamos las fórmulas generales (*) con los valores numéricos:

    \( \displaystyle a_1 = a_2 = \frac{1}{2}·\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}\; ; \;\tan \delta = - \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Lo que nos lleva a obtener:

    \( \displaystyle s_0 = \frac{5}{2}(\sqrt{6}-1)\; ; \; s_1 = 0 \; ; \; s_2 = 5\left(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{7}}\right)\; ; \; s_3 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{7}}\right) \)

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÓPTICA Y ONDAS



tema escrito por: José Antonio Hervás