PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Una radiación electromagnética plana, totalmente polarizada, está definida por los siguientes parámetros de Stokes:

    \( \begin{array}{l} s_o = 3(vol/m)^2 \; ; \; s_1 = \sqrt{2}(vol/m)^2 \; ; \\  \\ s_2 = 2(vol/m)^2 \; ; \; s_3 = \sqrt{3}(vol/m)^2 \end{array}\)
Se pide:
a) Escribir explícitamente la expresión del campo eléctrico en dicha onda, como función del tiempo y de la posición
b) Determinar qué punto de la esfera de Poincaré le corresponde y cual es su tipo de polarización
c) En caso de ser elípticamente polarizada, encontrar el ángulo que forma su eje principal con el eje X y determinar los valores de los semiejes de la elipse.
d) Si colocamos un polarizador que solo permite el paso de luz polarizada formando un ángulo de 45º con el eje X, encontrar la expresión explícita de la radiación emergente y sus parámetros de Stokes.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 24

Utilizando las definiciones de los parámetros de Stokes dadas por las fórmulas:
    \(\left.
    \begin{array}{c}
    s_0= a_1^2 + a_2^2 \; ; \; s_1 = a_1^2 - a_2^2 \\
     \\
    s_2 = a_1a_2\cos \delta\; ; \; s_2 = a_1a_2\sin \delta \\
    \end{array}
    \right\}\; (*) \)

Y considerando los valores del enunciado, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} a_1 = \sqrt{\frac{3+\sqrt{2}}{2}}\; ; \; a_2 =\sqrt{\frac{3-\sqrt{2}}{2}}\; ; \\  \\ tg \delta = - \frac{\sqrt{3}}{2}\; ; \; \delta = \arctan \left(- \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{array} \)

Tomando entonces δ1 = 0 y sustituyendo en las expresiones del campo eléctrico dadas por

    \(E_x = a_1·\cos (\tau + \delta_1)\; ; \; E_y = a_2·\cos (\tau + \delta_2) \; ; \; E_z = 0 \)

llegamos al resultado:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} E_x = \sqrt{\frac{3+\sqrt{2}}{2}}·\cos(wt-kr)\; ; \\  \\ E_y = \sqrt{\frac{3-\sqrt{2}}{2}}·\cos(wt-kr + \delta) \; ; \; E_z = 0 \end{array} \)

b) para saber qué punto de la esfera de Poincaré le corresponde a la radiación dada, tenemos:

    \( \displaystyle \tan \alpha = \frac{a_2}{a_1}= \sqrt{\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}} \)
    \( \displaystyle \sin 2\beta = \sin 2\alpha \sin \delta = - \frac{\sqrt{3}}{3} \; ; \; tg 2\psi = \tan 2\alpha \cos \delta = \sqrt{2} \)

Las coordenadas del punto en la esfera son, entonces:

    \( \begin{array}{l} s_1 = s_0·\cos 2\beta·\cos 2\psi\; ; \\  \\ s_2 = s_0·\cos 2\beta·\sin 2\psi\; ; \;s_3 = s_0·\sin 2\beta \end{array}\)

Y estos valores coinciden con los del enunciado para (s1, s2, s3).

Cómo a1 es distinto de a2, la polarización es elíptica y, además:

    \( \displaystyle \sin \delta < 0 \; ; \; - \frac{\pi}{2}< 2\beta < 0 \Rightarrow - \frac{\pi}{4}< \beta < 0 \)

Y tenemos polarización a izquierdas.
Por todo lo visto, el punto representativo se encuentra en la semiesfera inferior.
c) Puesto que hemos visto que la polarización es elíptica, calculamos el valor del ángulo ψ. A partir de lo encontrado en el apartado anterior, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \tan 2\psi = \sqrt{2}= \frac{2\tan \psi}{1-\tan^2 \psi}\; ; \\  \\ \tan 2\psi\tan^2\psi + 2\tan\psi -\tan 2\psi = 0 \Rightarrow \tan\psi = \left\{ \begin{matrix}+1 \\ \\-3 \end{matrix}\right. \end{array} \)

Estos dos valores corresponden respectivamente a cada eje de la elipse. Tomando el correspondiente al primer cuadrante, resulta para ψ un valor de 45 º.

Para calcular los semiejes de la elipse utilizamos las fórmulas:

    \( \displaystyle \left(\frac{b}{a}\right) = \tan \beta = \sqrt{3} - \sqrt{2}\; ; \; a^2 + b^2 = a_1^2 + a_2^2 =3 \)

Resolviendo el sistema anterior para a y b, obtenemos los valores:

    \( \displaystyle a = \sqrt{\frac{5(\sqrt{6}-1)}{2}}\; ; \; b= \sqrt{\frac{5(\sqrt{6}-1)}{2}}\times (\sqrt{3}- \sqrt{2}) \)

d) Cómo el polarizador forma un ángulo de 45 º con el eje X, la radiación emergente es la componente en la dirección ξ, por lo tanto, siendo:

    \( \displaystyle E_\xi = a·\cos(\tau + \delta_0) \)

El campo eléctrico vendrá dado a partir de las ecuaciones:

    \( \begin{array}{l} E_\xi = E_x·\cos \psi + E_y·\sin \psi\; ; \\  \\ E_\eta =- E_x·\sin \psi + E_y·\cos \psi\; ; \; E_z = 0 \end{array}\)

Operando con este sistema, resulta finalmente:

    \( \begin{array}{l} E_x = a·\cos \psi·\cos(wt-kr)\; ; \\  \\ E_y = a·\sin \psi·\cos(wt-kr+\delta)\; ; \; E_z = 0 \end{array}\)

Y teniendo en cuenta los valores numéricos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} E_x = \frac{1}{2}·\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}·\cos(wt-kr)\; ; \\  \\ E_y = \frac{1}{2}·\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}·\cos(wt-kr+\delta) \end{array} \)

Finalmente, para encontrar el valor de sus parámetros de Stokes, aplicamos las fórmulas generales (*) con los valores numéricos:

    \( \displaystyle a_1 = a_2 = \frac{1}{2}·\sqrt{5(\sqrt{6}-1)}\; ; \;\tan \delta = - \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Lo que nos lleva a obtener:

    \( \displaystyle s_0 = \frac{5}{2}(\sqrt{6}-1)\; ; \; s_1 = 0 \; ; \; s_2 = 5\left(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{7}}\right)\; ; \; s_3 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{7}}\right) \)

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tema escrito por: José Antonio Hervás