PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Consideremos un medio de vidrio bidimensional comprendido entre las rectas r1 y r2 de la figura. Sometemos dicho medio a un gradiente de temperatura constante y positivo en la dirección de las x positivas, es decir:

    \( grad \; T = (c_1,0) \quad ; \quad c_1 > 0 \)
El índice de refracción del vidrio variará con la abscisa de cada punto dependiendo de la temperatura.


Si suponemos, lo que experimentalmente es cierto, que el índice de refracción del vidrio aumenta linealmente con la temperatura en un gran intervalo de valores de T, obtener, por aplicación de la ley de Snell, la ecuación de la trayectoria de un rayo de luz incidente sobre el plano x = 0, formando un ángulo θ0 con el eje x. Téngase en cuenta que en este caso hay infinitos medios sucesivos cuyos índices de refracción son n = n(x).

RESPUESTA DEL EJERCICIO 21

Por los datos del problema tenemos:

    \( \displaystyle \nabla \vec{T} = c_1ˇ\hat{i} \Rightarrow \frac{dT}{dx} = c_1 \Rightarrow T = T_o + c_1x \)

Y si n aumenta linealmente con T:

    \(\begin{array}{l} n = p + qT \Rightarrow n(x) = p + q(T_o + c_1x) = \\  \\ = (p + qT_o) + qc_1x \Rightarrow n(x) + a + bx \end{array} \)
Siendo a el índice en x = 0, pero dentro del vidrio, o sea a = n(0), y b = qc1 una constante.

Aplicando la ley de Snell a cada uno de los infinitos medios, situado cada uno paralelo al eje y, nos queda la ecuación:

    \( n_oˇ\sin \theta_o = n(0)\sin \theta(0) = n(x_1)\sin \theta(x_1) = \ldots = n(x)\sin \theta(x) \)

Donde n0 y θ0 corresponden a condiciones iniciales de incidencia del rayo en el medio y, por tanto, conocidas.

Trayectoria de un rayo en un vidrio

Podemos escribir entonces:

    \( n_oˇ\sin \theta_o = n(x)ˇ\sin \theta(x) \)

Pero se tiene:

    \( \displaystyle \sin \theta(x) = \frac{tg \theta(x)}{1 + tg^2 \theta(x)} \)

Y recordando que para todo punto x, en la curva trayectoria del rayo, la pendiente, o sea, tg θ, viene dada por el valor en cada punto de y’ = dy/dx, tenemos finalmente:

    \( \displaystyle n_o\sin \theta_o = n(x)\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \Rightarrow y' = \frac{n_oˇ\sin \theta_o}{\sqrt{n^2(x)- n_o^2ˇ\sin^2 \theta_o }} \)

En esta ecuación sustituyamos el valor de n(x) y pongamos, para abreviar, m = n0•sin θ0:

    \( \displaystyle dy = \frac{dx}{\sqrt{(a+bx)^2´- m^2}}\Rightarrow dy = \frac{(m/b)dz}{\sqrt{z^2 - m^2}} = \frac{1}{b}\frac{dz}{\sqrt{(z/m)^2 -1}} \)

Donde hemos hecho z = a + bx ; dz = b•dx.
La integración la vamos a realizar desde x = 0 hasta x genérico (desde z = a hasta z genérico) y desde y = 0 hasta y genérico (suponiendo el origen de coordenadas en 0). Tenemos entonces:

    \( \displaystyle y(x) = \frac{1}{b}\int_a^z \frac{dz}{\sqrt{(z/m)^2 -1}} = \frac{m}{b}\left\{ln \left[\frac{z}{m}+ \sqrt{\left(\frac{z}{m}\right)^2 - 1}\right]_a^z \right\} = \)

    \( \displaystyle = \frac{m}{b}\left\{ln \left[a+bx+\sqrt{(a+bx)^2 - m^2}\right]- ln\left[a+\sqrt{a^2 - m^2}\right]\right\} \)
Finalmente, agrupando los logaritmos resulta:

    \( \displaystyle y(x) = \frac{m}{b}ˇln \left\{\frac{a+bx+\sqrt{(a+bx)^2 - m^2}}{a+\sqrt{a^2 - m^2}}\right\} \)

Que es la ecuación de la trayectoria que siguen los rayos y donde m se calcula de acuerdo con las condiciones de incidencia.

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tema escrito por: José Antonio Hervás