PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

RESPUESTA DEL EJERCICIO 21

Por los datos del problema tenemos:

    \( \displaystyle \nabla \vec{T} = c_1ˇ\hat{i} \Rightarrow \frac{dT}{dx} = c_1 \Rightarrow T = T_o + c_1x \)

Y si n aumenta linealmente con T:

    \(\begin{array}{l} n = p + qT \Rightarrow n(x) = p + q(T_o + c_1x) = \\  \\ = (p + qT_o) + qc_1x \Rightarrow n(x) + a + bx \end{array} \)
Siendo a el índice en x = 0, pero dentro del vidrio, o sea a = n(0), y b = qc1 una constante.

Aplicando la ley de Snell a cada uno de los infinitos medios, situado cada uno paralelo al eje y, nos queda la ecuación:

    \( n_oˇ\sin \theta_o = n(0)\sin \theta(0) = n(x_1)\sin \theta(x_1) = \ldots = n(x)\sin \theta(x) \)

Donde n0 y θ0 corresponden a condiciones iniciales de incidencia del rayo en el medio y, por tanto, conocidas.

Trayectoria de un rayo en un vidrio

Podemos escribir entonces:

    \( n_oˇ\sin \theta_o = n(x)ˇ\sin \theta(x) \)

Pero se tiene:

    \( \displaystyle \sin \theta(x) = \frac{tg \theta(x)}{1 + tg^2 \theta(x)} \)

Y recordando que para todo punto x, en la curva trayectoria del rayo, la pendiente, o sea, tg θ, viene dada por el valor en cada punto de y’ = dy/dx, tenemos finalmente:

    \( \displaystyle n_o\sin \theta_o = n(x)\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \Rightarrow y' = \frac{n_oˇ\sin \theta_o}{\sqrt{n^2(x)- n_o^2ˇ\sin^2 \theta_o }} \)

En esta ecuación sustituyamos el valor de n(x) y pongamos, para abreviar, m = n0•sin θ0:

    \( \displaystyle dy = \frac{dx}{\sqrt{(a+bx)^2´- m^2}}\Rightarrow dy = \frac{(m/b)dz}{\sqrt{z^2 - m^2}} = \frac{1}{b}\frac{dz}{\sqrt{(z/m)^2 -1}} \)

Donde hemos hecho z = a + bx ; dz = b•dx.
La integración la vamos a realizar desde x = 0 hasta x genérico (desde z = a hasta z genérico) y desde y = 0 hasta y genérico (suponiendo el origen de coordenadas en 0). Tenemos entonces:

    \( \displaystyle y(x) = \frac{1}{b}\int_a^z \frac{dz}{\sqrt{(z/m)^2 -1}} = \frac{m}{b}\left\{ln \left[\frac{z}{m}+ \sqrt{\left(\frac{z}{m}\right)^2 - 1}\right]_a^z \right\} = \)

    \( \displaystyle = \frac{m}{b}\left\{ln \left[a+bx+\sqrt{(a+bx)^2 - m^2}\right]- ln\left[a+\sqrt{a^2 - m^2}\right]\right\} \)
Finalmente, agrupando los logaritmos resulta:

    \( \displaystyle y(x) = \frac{m}{b}ˇln \left\{\frac{a+bx+\sqrt{(a+bx)^2 - m^2}}{a+\sqrt{a^2 - m^2}}\right\} \)

Que es la ecuación de la trayectoria que siguen los rayos y donde m se calcula de acuerdo con las condiciones de incidencia.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÓPTICA Y ONDAS



tema escrito por: José Antonio Hervás