PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA - RESPUESTA DEL EJERCICIO 21

Por los datos del problema tenemos:



Y si n aumenta linealmente con T:



Siendo a el índice en x = 0, pero dentro del vidrio, o sea a = n(0), y b = q_c1 una constante.

Aplicando la ley de Snell a cada uno de los infinitos medios, situado cada uno paralelo al eje y, nos queda la ecuación:



Donde n₀ y θ₀ corresponden a condiciones iniciales de incidencia del rayo en el medio y, por tanto, conocidas.



Podemos escribir entonces:



Pero se tiene:



Y recordando que para todo punto x, en la curva trayectoria del rayo, la pendiente, o sea, tg θ, viene dada por el valor en cada punto de y’ = dy/dx, tenemos finalmente:



En esta ecuación sustituyamos el valor de n(x) y pongamos, para abreviar, m = n₀•sin θ₀:



Donde hemos hecho z = a + bx ; dz = b•dx.
La integración la vamos a realizar desde x = 0 hasta x genérico (desde z = a hasta z genérico) y desde y = 0 hasta y genérico (suponiendo el origen de coordenadas en 0). Tenemos entonces:



Finalmente, agrupando los logaritmos resulta:



Que es la ecuación de la trayectoria que siguen los rayos y donde m se calcula de acuerdo con las condiciones de incidencia.