PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

El área equivalente δxy de una función g(x, y) puede definirse por la expresión:

    \( \displaystyle \triangle_{xy} = \left|\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)dx\cdot dy}{g(0,0)}\right| \)
Mientras que la anchura de banda equivalente de g está definida en términos de su transformada de Fourier, G(wx, wy) por:

    \( \displaystyle \triangle_{w_xw_y} = \left|\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}G(w_x,w_y)dw_x\cdot dw_y}{G(0,0)}\right| \)
Probar que se tiene:
    \( \triangle_{xy}\cdot\triangle_{w_xw_y} =1 \)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 17

Considerando la definición de la transformada de Fourier podemos escribir:

    \(\displaystyle \triangle_{xy} = \left| \frac{ \displaystyle \left[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)e^{i(w_xx+w_yy)}dxdy\right]_{w_x = w_y = 0}}{g(0,0)}\right| = \left|\frac{G(0,0)}{g(0,0)}\right| \)

Y análogamente:

    \( \displaystyle \triangle_{w_xw_y} = \left|\frac{ \displaystyle \left[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}G(w_x,w_y)e^{i(w_xx+w_yy)}dw_xdw_y\right]_{w_x = w_y = 0}}{G(0,0)}\right| = \left|\frac{g(0,0)}{G(0,0)}\right| \)

Por lo que multiplicando miembro a miembro ambas expresiones tenemos:

    \( \displaystyle \triangle_{xy}\cdot \triangle_{w_xw_y} = \left|\frac{G(0,0)}{g(0,0)}\right|\times \left|\frac{g(0,0)}{G(0,0)}\right| = 1 \)

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tema escrito por: José Antonio Hervás