PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de óptica y ondas

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA

RESPUESTA DEL EJERCICIO 15

Al reflejarse la onda en la superficie reflectante, se modificará la dirección del vector de onda, , manteniéndose constante su módulo, ya que la longitud de onda no ha variado.

superficie reflectante


Vamos a considerar que toda la energía incidente se refleja. En esas condiciones, las amplitudes de la onda incidente y reflejada son iguales y tenemos:

    Onda incidente : \(\Psi(\vec{r}, t)= A·exp\left[i\left(wt - \vec{k}\vec{r}\right)\right]\) ,

    onda reflejada : \(\Psi'(\vec{r}, t)= A·exp\left[i\left(wt - \vec{k}'\vec{r}\right)\right]\)

    Por lo que la onda resultante de la superposición de ambas valdrá:
    \( \phi(\vec{r}, t)= Aexp\left[i\left(wt - \vec{k} Aexp\left[i\left(wt - \vec{k}'\vec{r}\right)\right]\vec{r}\right)\right] \)

Pero se tiene:

    \( \displaystyle |\vec{k}| = |\vec{k}'|= k = 2\frac{\pi}{\lambda} \; ; \;\vec{k}= \left\{ \begin{matrix}k_x= k\sin \alpha \\ \\k_y = -k\cos \alpha \end{matrix}\right. \; ; \;\vec{k}'= \left\{ \begin{matrix}k'_x= k\sin \alpha \\ \\k'_y = -k\cos \alpha \end{matrix}\right. \)

    \( \vec{k}\vec{r}= xk\sin \alpha - yk\cos \alpha\; ; \; \vec{k}'\vec{r}= xk\sin \alpha + yk\cos \alpha\ \)

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior llegamos a:

    \(\begin{array}{l}
    \phi\left(\vec{r}, t\right)= Aexp\left[i(wt-x·k\sin \alpha)\right]\left[e^{iy·k\cos \alpha}+ e^{-iy·k\cos \alpha}\right] = \\
     \\
    = 2Aexp\left[i(wt-x·k·\sin \alpha)\right]\cos(yk·\cos \alpha) =\\
     \\
    = 2A\cos(yk·\cos \alpha)exp[i(wt-k_1x)]
    \end{array}\)

Donde hemos puesto k1 = k•sin α.
Se observa que la onda es progresiva, propagándose según el eje X con una velocidad de propagación (velocidad de fase):

    \( \displaystyle v_f = \frac{w}{k_1} = \frac{w}{k\sin \alpha} = \frac{\nu}{\sin \alpha} \)

Puesto que sin α es menor que la unidad, esta velocidad de fase será mayor que la de la onda incidente.
La amplitud de la onda resultante depende de la coordenada “y” y vale:

    \( A(y) = 2A\cos(yk\cos \alpha) \)

Esta amplitud es nula en aquellos valores de y = yN tales que cos(yNk•cos α) = 0, por lo que tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \cos(y_Nk\cos \alpha)= 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y_Nk\cos \alpha = \frac{(2m+1)\pi}{2}\Rightarrow y_N =\frac{(2m+1)\lambda}{4\cos \alpha} \end{array} \)

Donde m es un número entero, λ viene de k = 2π/λ y la ecuación de la posición de los nodos representa rectas paralelas al eje X, con una separación de l/2•cos α unidades entre dos nodos consecutivos.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÓPTICA Y ONDAS



tema escrito por: José Antonio Hervás