PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA

Una onda plana monocromática, de longitud de onda λ, incide sobre una superficie reflectante formando un ángulo α con la normal a dicha superficie (ver figura adjunta).



Después de la reflexión, las ondas incidente y reflejada se superponen en cada punto.
Escribir la expresión de la onda resultante de dicha superposición, indicando en qué dirección se propaga, así como su velocidad de fase. Comparar ésta con la velocidad de fase de la onda incidente. Determinar también la situación de los nodos de la onda resultante y la separación entre ellos.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 15

Al reflejarse la onda en la superficie reflectante, se modificará la dirección del vector de onda, , manteniéndose constante su módulo, ya que la longitud de onda no ha variado.

superficie reflectante


Vamos a considerar que toda la energía incidente se refleja. En esas condiciones, las amplitudes de la onda incidente y reflejada son iguales y tenemos:

    Onda incidente : \(\Psi(\vec{r}, t)= A·exp\left[i\left(wt - \vec{k}\vec{r}\right)\right]\) ,

    onda reflejada : \(\Psi'(\vec{r}, t)= A·exp\left[i\left(wt - \vec{k}'\vec{r}\right)\right]\)

    Por lo que la onda resultante de la superposición de ambas valdrá:
    \( \phi(\vec{r}, t)= Aexp\left[i\left(wt - \vec{k} Aexp\left[i\left(wt - \vec{k}'\vec{r}\right)\right]\vec{r}\right)\right] \)

Pero se tiene:

    \( \displaystyle |\vec{k}| = |\vec{k}'|= k = 2\frac{\pi}{\lambda} \; ; \;\vec{k}= \left\{ \begin{matrix}k_x= k\sin \alpha \\ \\k_y = -k\cos \alpha \end{matrix}\right. \; ; \;\vec{k}'= \left\{ \begin{matrix}k'_x= k\sin \alpha \\ \\k'_y = -k\cos \alpha \end{matrix}\right. \)

    \( \vec{k}\vec{r}= xk\sin \alpha - yk\cos \alpha\; ; \; \vec{k}'\vec{r}= xk\sin \alpha + yk\cos \alpha\ \)

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior llegamos a:

    \(\begin{array}{l}
    \phi\left(\vec{r}, t\right)= Aexp\left[i(wt-x·k\sin \alpha)\right]\left[e^{iy·k\cos \alpha}+ e^{-iy·k\cos \alpha}\right] = \\
     \\
    = 2Aexp\left[i(wt-x·k·\sin \alpha)\right]\cos(yk·\cos \alpha) =\\
     \\
    = 2A\cos(yk·\cos \alpha)exp[i(wt-k_1x)]
    \end{array}\)

Donde hemos puesto k1 = k•sin α.
Se observa que la onda es progresiva, propagándose según el eje X con una velocidad de propagación (velocidad de fase):

    \( \displaystyle v_f = \frac{w}{k_1} = \frac{w}{k\sin \alpha} = \frac{\nu}{\sin \alpha} \)

Puesto que sin α es menor que la unidad, esta velocidad de fase será mayor que la de la onda incidente.
La amplitud de la onda resultante depende de la coordenada “y” y vale:

    \( A(y) = 2A\cos(yk\cos \alpha) \)

Esta amplitud es nula en aquellos valores de y = yN tales que cos(yNk•cos α) = 0, por lo que tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \cos(y_Nk\cos \alpha)= 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y_Nk\cos \alpha = \frac{(2m+1)\pi}{2}\Rightarrow y_N =\frac{(2m+1)\lambda}{4\cos \alpha} \end{array} \)

Donde m es un número entero, λ viene de k = 2π/λ y la ecuación de la posición de los nodos representa rectas paralelas al eje X, con una separación de l/2•cos α unidades entre dos nodos consecutivos.

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tema escrito por: José Antonio Hervás