Escribiendo la función de ondas en la forma expresada en
el enunciado y diferenciando:
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación general
tenemos:
que también se puede escribir:
puesto que cada miembro se refiere a una variable distinta, ambos
deben ser igual a un valor real constante. Obtenemos según
eso dos ecuaciones diferenciales de la forma:
cuyas soluciones son:
Operando con estas dos soluciones encontramos que la solución
general será
si ,
la exponencial se hace infinita cuando
tiende a infinito, pero para que esta expresión tenga sentido
físico como onda debe conservar su amplitud finita, por
lo que dicho valor no es válido. Tomamos entonces a = -w²
, con
lo que la solución será:
y si hacemos k = w/v = k = 2π/λ , obtenemos la expresión
conocida de una onda plana:
,
la exponencial se hace infinita cuando 
tiende a infinito, pero para que esta expresión tenga sentido
físico como onda debe conservar su amplitud finita, por
lo que dicho valor no es válido. Tomamos entonces a = -w²
, 
con
lo que la solución será:
