PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA
Probar como soluciones de la ecuación de ondas unidimensional funciones
de la forma:
\( \psi(x,t) = u(x)\phi(t) \)
Encontrar como han de ser dichas funciones de las variables únicas
x y t escribiendo entonces la solución general.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 2
La ecuación de ondas unidimensional es :
\( \displaystyle \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} =
\frac{1}{\upsilon^2}\cdot\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial
t^2} \)
Escribiendo la función de ondas en la forma expresada en
el enunciado y diferenciando:
\( \displaystyle \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} =\frac{\partial^2u(x)}{\partial
x^2}\cdot\Phi(t)\quad ; \quad \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial
t^2} = u(x) \frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial x^2} \)
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación general
tenemos:
\( \displaystyle \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2}\cdot\Phi(t)
- \left(\frac{1}{\upsilon^2}\right)ˇ u(x)ˇ \frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial
x^2} = 0 \)
que también se puede escribir:
\( \displaystyle \left(\frac{1}{\Phi(t)}\right)ˇ\frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial
t^2} = \left(\frac{\upsilon^2}{u(x)}\right)ˇ\frac{\partial^2u(x)}{\partial
x^2} = a = cte \)
puesto que cada miembro se refiere a una variable distinta, ambos
deben ser igual a un valor real constante. Obtenemos según
eso dos ecuaciones diferenciales de la forma:
\( \displaystyle \frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial t^2} = aˇ\Phi(t)
\quad ; \quad \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = aˇ \left(\frac{u(x)}{\upsilon^2}\right)
\)
cuyas soluciones son:
\( \displaystyle \Phi(t) = b\cdot exp\left(\pm \sqrt{a}t\right)
\; ; \; u(x) = c\cdot exp \left[\pm \frac{\sqrt{a}}{\nu}\right]\;
; \; b,c = ctes. \)
Operando con estas dos soluciones encontramos que la solución
general será
\( \displaystyle \Psi(x,t) = d\cdot exp \left(\pm \sqrt{a}t
\pm \frac{\sqrt{a}}{\nu}x\right)= d\cdot exp \left\{\pm\sqrt{a}\left[t\pm
\left(\frac{x}{\nu}\right)\right]\right\} \)
si \(\sqrt{a}\in R\), la exponencial se hace infinita cuando \([t\pm
(x/\nu)]\) tiende a infinito, pero para que esta expresión
tenga sentido físico como onda debe conservar su amplitud
finita, por lo que dicho valor no es válido. Tomamos entonces\(a
=-w^2 \Rightarrow \sqrt{a}= w\cdot i\) , con lo que la solución
será:
\( \displaystyle \Psi(x,y) = d\cdot exp \left\{ \pm i \left[wt
\pm \left(\frac{w}{\nu}\right)x\right]\right\} \)
y si hacemos k = w/v = k = 2π/λ , obtenemos la expresión
conocida de una onda plana:
\( \Psi(x,y) = d\cdot exp\{\pm i [wt \pm kx]\} \)