PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Probar como soluciones de la ecuación de ondas unidimensional funciones de la forma:

\( \psi(x,t) = u(x)\phi(t) \)

Encontrar como han de ser dichas funciones de las variables únicas x y t escribiendo entonces la solución general.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 2

La ecuación de ondas unidimensional es :

\( \displaystyle \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{\upsilon^2}\cdot\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial t^2} \)

Escribiendo la función de ondas en la forma expresada en el enunciado y diferenciando:

\( \displaystyle \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} =\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2}\cdot\Phi(t)\quad ; \quad \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial t^2} = u(x) \frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial x^2} \)

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación general tenemos:

\( \displaystyle \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2}\cdot\Phi(t) - \left(\frac{1}{\upsilon^2}\right)· u(x)· \frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial x^2} = 0 \)

que también se puede escribir:

\( \displaystyle \left(\frac{1}{\Phi(t)}\right)·\frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial t^2} = \left(\frac{\upsilon^2}{u(x)}\right)·\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = a = cte \)

puesto que cada miembro se refiere a una variable distinta, ambos deben ser igual a un valor real constante. Obtenemos según eso dos ecuaciones diferenciales de la forma:

\( \displaystyle \frac{\partial^2\Phi(t)}{\partial t^2} = a·\Phi(t) \quad ; \quad \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = a· \left(\frac{u(x)}{\upsilon^2}\right) \)

cuyas soluciones son:

\( \displaystyle \Phi(t) = b\cdot exp\left(\pm \sqrt{a}t\right) \; ; \; u(x) = c\cdot exp \left[\pm \frac{\sqrt{a}}{\nu}\right]\; ; \; b,c = ctes. \)

Operando con estas dos soluciones encontramos que la solución general será

\( \displaystyle \Psi(x,t) = d\cdot exp \left(\pm \sqrt{a}t \pm \frac{\sqrt{a}}{\nu}x\right)= d\cdot exp \left\{\pm\sqrt{a}\left[t\pm \left(\frac{x}{\nu}\right)\right]\right\} \)

si \(\sqrt{a}\in R\), la exponencial se hace infinita cuando \([t\pm (x/\nu)]\) tiende a infinito, pero para que esta expresión tenga sentido físico como onda debe conservar su amplitud finita, por lo que dicho valor no es válido. Tomamos entonces\(a =-w^2 \Rightarrow \sqrt{a}= w\cdot i\) , con lo que la solución será:

\( \displaystyle \Psi(x,y) = d\cdot exp \left\{ \pm i \left[wt \pm \left(\frac{w}{\nu}\right)x\right]\right\} \)

y si hacemos k = w/v = k = 2π/λ , obtenemos la expresión conocida de una onda plana:

\( \Psi(x,y) = d\cdot exp\{\pm i [wt \pm kx]\} \)