Ejercicios de Mecánica cuántica
Demostrar que el valor medio del momento para un estado ligado
estacionario es siempre cero
Respuesta del ejercicio 79
El valor medio del momento se calcula por la expresión:
\( \displaystyle \bar{p}= \langle \psi , \hat{p}\psi \rangle = -
\int (\psi^* , i\hbar·\nabla \psi)dr\qquad , ya\;que\; \hat{p}
= - i\hbar·\nabla\psi \)
Cómo se trata de un Estado estacionario, leemos poner la
función de onda en la forma:
\( \psi(r,t) = \varphi(\vec{r})·e^{-i(E/\hbar)t} \)
Para simplificar vamos a resolver el problema de una sola dimensión,
con ello:
\( \displaystyle \bar{p}_x = \langle \psi , - i\hbar·\frac{\partial}{\partial
x}\psi \rangle = - \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*·i\hbar·\frac{\partial
\psi}{\partial x}dx = - i\hbar \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*\frac{\partial
\psi}{\partial x}dx \)
Donde el exponencial temporal se ha eliminado al multiplicarlo
por su complejo conjugado. Para resolver la integral lo hacemos
por partes y escribiendo:
\( \displaystyle u = \varphi^* \Rightarrow du = \frac{d\varphi^*}{dx}dx\quad
; \quad dv = \frac{d\varphi}{dx}dx \Rightarrow v = \varphi \)
Y a partir de ahí:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\bar{p}_x = - i\hbar\left[\varphi \varphi^* -\int \varphi \frac{d\varphi^*}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}=
- i\hbar\left[\varphi \varphi^* \right]_{-\infty}^{+\infty} + i\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi\frac{d\varphi^*}{dx}dx
= \\
\\
- \langle - i\hbar\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \varphi\rangle
= - \langle \bar{p}\varphi, \varphi\rangle
\end{array} \)
Y esto es así, el término
\( \displaystyle \left[\varphi \varphi^* \right]_{-\infty}^{+\infty}
\)
Tiende a cero, al ser un estado ligado, se verifica que \( \lambda\rightarrow
0 \) para \( +\infty \; y\; -\infty \) (por definición).
Por otro lado, de problemas anteriores tenemos el resultado de
que el operador \( \hat{p} \) es hermítico. Por todo ello,
considerando esta propiedad nos queda:
\( \displaystyle \langle \psi , \hat{p}\psi\rangle = \langle \psi
, p\psi\rangle \Rightarrow \bar{p} = - \bar{p} \Rightarrow 2·\bar{p}
= 0 \Rightarrow \bar{p} = 0 \)
Y queda demostrado lo que nos propongamos.