PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 60

Utilizamos el método de separación de variables:
    \(f(x,t) =X(x).T(t) \)

Derivando dos veces esta expresión, respecto a cada variable, obtenemos:

    \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = T\frac{d^2 X}{d x^2}\quad ; \quad \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = X\frac{d^2 T}{d t^2} \)

Dividiendo por \(T·X\) cada una de estas expresiones y sustituyendo en la ecuación inicial:

    \(\displaystyle \frac{v^2}{X}\frac{d^2X}{dx^2} - \frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} = 0 \Rightarrow \frac{v^2}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} = \alpha = - k^2 \)

Operando con cada una de estas expresiones resulta:

    \(\displaystyle \frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} = - k^2 \Rightarrow \frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} + Tk^2 = 0 \)

Ecuación de un oscilador armónico cuya solución general es:

    \(T = Me^{ikt} + Ne^{-ikt} = A\cos kt + B\sin kt \)

Y para la variable x:

    \(\displaystyle \frac{d^2X}{dx^2}+ \frac{k^2}{v^2}X = 0 \Rightarrow X = C\cos \left(\frac{kx}{v}\right) + D\sin \left(\frac{kx}{v}\right) \)

Las condiciones iniciales y de contorno se verifican en todo instante t solo si X satisface las condiciones:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} X(0) = 0 \Rightarrow C\cos \left(\frac{k0}{v}\right) + D\sin \left(\frac{k0}{v}\right)\Rightarrow C = 0 \\ \\ X(L) = 0 \Rightarrow C\cos \left(\frac{kL}{v}\right) + D\sin \left(\frac{kL}{v}\right)\Rightarrow \sin \left(\frac{kL}{v}\right) = 0 \end{array}\)

Para que se verifique esto último, k deberá tomar valores \(k_n = \pi·nv/L\), con n=1,2,3…
De aquí resulta para ambas ecuaciones:

    \(\displaystyle X_n(x) = D_n\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)\;; \;T_n = A_n\cos \left(\frac{\pi nv}{L}t\right)+ B_n\sin \left(\frac{\pi nv}{L}t\right) \)

Y con el producto de las dos:

    \(\displaystyle f(x,y) = A\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)\cos \left(\frac{\pi nv}{L}t\right) + B\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)\sin \left(\frac{\pi nv}{L}t\right) \)

Soluciones más generales vendrán dadas por una combinación lineal de funciones como la anterior:

    \(\displaystyle f_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left[A_n\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)\cos \left(\frac{\pi nv}{L}t\right) + B_n\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)\sin \left(\frac{\pi nv}{L}t\right)\right] \)

Las condiciones iniciales para esta solución son: (en t=0):

    \(\displaystyle f_o(x) = A_n\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)\quad ; \quad f'_o(x) = \frac{\pi nv}{L}B_n\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right) \)

Para calcular \(A_n \; y \; B_n\) utilizamos la serie de Fourier en el intervalo \(0 < x < L\), de donde

    \(\displaystyle \begin{array}{l} A_n = \frac{2}{L}\int_0^L f_o(x)\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)dx \\ \\ \frac{\pi nv}{L}B_n = \int_0^L f'(x)\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)dx \Rightarrow\\ \\\Rightarrow B_n = \frac{2}{\pi nv}\int_0^L f'(x)\sin \left(\frac{\pi n}{L}x\right)dx \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás