PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
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Ejercicios de Física Cuántica

Demostrar la invarianza de la ecuación de Schrödringer para la partícula libre respecto de la transformación de Galileo.

Respuesta del ejercicio 59

La ecuación de Schrödringer y la transformación de Galileo vienen dadas por:
    \(\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\qquad ; \left\{ \begin{array}{l} t'=t \\ \\ x'= x-vt \\ \end{array} \right. \)

Considerando las operaciones tenemos:

    \(\displaystyle \frac{\partial }{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t'} \)

Pues según la transformación de Galileo tenemos:

    \(\displaystyle \frac{\partial t }{\partial t'} = 1 \quad ; \quad \frac{\partial x' }{\partial t} = \frac{\partial x }{\partial t}- v\frac{\partial t }{\partial t} = v - v = 0 \)

Y para la coordenada espacial:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial }{\partial x}= \frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x}; \textrm{ por ser } \frac{\partial x'}{\partial x} = 1 ; \frac{\partial t'}{\partial x} = 0 \\ \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial x'}\right) = \frac{\partial^2}{\partial x'^2}\frac{\partial x' }{\partial x} + \frac{\partial^2}{\partial x' \partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x} = \frac{\partial^2}{\partial x'^2} \end{array} \)

Por consiguiente, la ecuación de Schrödringer es invariante.
La solución general de la ecuación de Schrödringer para una partícula libre está formada por una parte espacial y una parte temporal:

    \(\displaystyle X = Ae^{ikx} \quad ; \quad T = Be^{-k^2(i\hbar/2m)t} \)

Por lo que el conjunto completo será de la forma:

    \(\displaystyle \psi(x,t) = Ce^{ikx}e^{-k^2(i\hbar/2m)t} \)

Y como hemos demostrado que es invariante en las transformaciones de Galileo:

    \(\displaystyle \psi(x',t') = Ce^{ikx'}e^{-k^2(i\hbar/2m)t'} \)

Sustituyendo las coordenadas según la transformación de Galileo tenemos:

    \(\displaystyle \psi'(x,t) = Ce^{ik(x-vt)}e^{-k^2(i\hbar/2m)t} \)

Con lo que el factor f(x,t) entre ambas expresiones será:

    \(\displaystyle f(x,t) = \frac{Ce^{ikx}e^{-ikvt}e^{-k^2(i\hbar/2m)t}}{Ce^{ikx}e^{-k^2(i\hbar/2m)t}} = e^{-ikvt} \)

Veamos que resultados se obtienen haciendo esto con una función de onda del tipo:

    \(\displaystyle \psi = Ae^{i(kx-wt)} \)

Tenemos:

    \(\displaystyle \psi' = Ae^{i(kx'-wt')} = Ae^{i[k(x-vt)- wt]} = Ae^{ikx}e^{ikvt}e^{iwt} \)

Y de ahí:

    \(\displaystyle f(x,t) = \frac{Ae^{ikx}e^{-ikvt}e^{-iw·t}}{Ae^{ikx}e^{-iw·t}} = e^{-ikvt} \)

Y ambos coinciden.

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tema escrito por: José Antonio Hervás