PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 58

La velocidad de grupo se define por la expresión:
    \(\displaystyle v_g = \frac{dw}{dk} \quad ; \quad \textrm{ con } w = w(k) \)

Y las relaciones de Einstein y de Broglie son:

    \(\displaystyle E = \hbarw = h\nu \quad ; \quad p = \frac{h}{\lambda} = \hbark \)

Por otra parte, la energía relativista de la partícula viene dada por:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} E^2 = p^2c^2 + m_o^2c^2 \Rightarrow p^2c^2 + m_o^2c^2 = \hbar^2w^2 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow w = \sqrt{\frac{p^2c^2}{\hbar^2} + \frac{m_o^2c^2}{\hbar^2}} \end{array} \)

Y teniendo en cuenta la relación de Broglie:

    \(\displaystyle w = \sqrt{k^2c^2 + \frac{m_o^2c^2}{\hbar^2}} \)

Con lo que obtenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    v_g = \frac{dw}{dk} = \frac{2k·c^2}{2\sqrt{k^2c^2 + \left(m_o^2c^4/\hbar^2\right)}} = \\
     \\
    = \frac{\hbar kc^2}{\sqrt{\hbar^2k^2c^2 + m^2c^4}} = \frac{\hbar kc^2}{\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}} = \frac{pc^2}{E}
    \end{array} \)

Y sustituyendo las energías y momentos relativistas:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} E = \frac{m_oc^2}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}} \\ \\ p = \frac{m_ov}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}} \end{array} \qquad v_g = \frac{m_ovc^2 \sqrt{1 - (v^2/c^2)} }{m_oc^2 \sqrt{1 - (v^2/c^2)} } = v \)

Siendo v la velocidad de la partícula y \(v_g\) la velocidad de grupo.
La velocidad de fase para velocidades relativistas se obtiene de \(v_f = \lambda·\nu\), y por las relaciones anteriores tenemos: \(E = h·\nu \; ; \; p = h/\lambda\)

    \(\displaystyle E^2 = p^2c^2 + m_o^2c^4 = h^2\nu^2 = p^2\lambda^2\nu^2 \Rightarrow \lambda^2\nu^2 = c^2 + (m_o^2c^4/p^2) \)

Y sustituyendo los valores relativistas:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} v_f^2 = c^2 + \frac{m_o^2c^4(1- v^2/c^2)}{m_o^2v^2} = \\  \\ = c^2 + \frac{c^4}{v^2} -\frac{c^2v^2}{v^2} = \frac{c^2}{v^2} \Rightarrow v_f = \frac{c^2}{v} > c \end{array} \)

Lo cual es físicamente imposible.

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tema escrito por: José Antonio Hervás