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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Física Cuántica

Demostrar que una función escalón periódico, de periodo \(2\pi\), de la forma:
    \(\displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    -1 \textrm{ si } -\pi < x < 0 \\
    \\
    \quad 1 \textrm{ si } 0 < x <\pi \\
    \end{array}
    \right. \)

Se puede expresar mediante la serie siguiente:

    \(\displaystyle f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}·\sin[(2n-1)x]
    \)

Hacer una gráfica de la función resultante de determinar la serie manteniendo solamente unos pocos términos.

Respuesta del ejercicio 57

Conocemos que f(x) es una función periódica de periodo \(2\pi\), por tanto, se puede representar por una serie de Fourier de la forma:
    \(\displaystyle f(x) = \frac{a}{2} + \sum_{m=1}^\infty \left(a_m\cos mkx + b_m\sin mkx\right) \)

Donde los coeficientes vienen definidos por:

    \(\displaystyle a_m = \frac{2}{\lambda}\int_0^\lambda f(x)\cos mkxdx \; ; \; b_m = \frac{2}{\lambda}\int_0^\lambda f(x)\sin mkxdx \)

Teniendo en nuestro caso: \(k = 2\pi/2\pi = 1 \; ; \; \lambda = 2\pi\)
Para el coeficiente \(a_o\) tenemos:

    \(\displaystyle a_o = \frac{2}{2\pi}\left\{ \int_{-\pi}^0 -1dx + \int_0^\pi 1dx\right\} = \frac{1}{\pi}\left\{ [-x]_{-\pi}^0 + [x]_0^\pi \right\} = 0 \Rightarrow a_o = 0 \)

Y para los demás:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} a_m = \frac{1}{\pi}\left\{ \int_{-\pi}^0 -\cos mxdx + \int_0^\pi \cos mxdx\right\} = \\  \\ = \frac{1}{\pi}\left\{ \left[-\frac{\sin mx}{m}\right]_{-\pi}^0 + \left[\frac{\sin mx}{m}\right]_0^\pi \right\} = 0 \end{array} \)

Siendo \(a_m = 0\), para todo m.

    \(\displaystyle \begin{array}{l} b_m = \frac{1}{\pi}\left\{ \int_{-\pi}^0 -\sin mxdx + \int_0^\pi \sin mxdx\right\} = \\ \\ =\frac{1}{\pi}\left\{ \left[\frac{\cos mx}{m}\right]_{-\pi}^0 + \left[-\frac{\cos mx}{m}\right]_0^\pi \right\} = \\ \\ = \frac{1}{\pi} \left\{\frac{1-\cos m\pi}{m} + \frac{1-\cos m\pi}{m}\right\} = \frac{1}{\pi}\frac{2(1-\cos m)\pi}{m} \end{array} \)

Pero:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \cos m\pi = 1 \textrm{ cuando } m = 2, 4, 6,\cdots \textrm{ con lo que } b_m = 0 \textrm{ para } m = 2, 4, 6,\cdots \\ \\ \cos m\pi = -1 \textrm{ cuando } m = 1,3,5,\cdots \textrm{ con lo que } b_m = \frac{4}{m\pi} \textrm{ para } m = 1,3,5, \cdots \end{array} \)

Recordando que la forma de expresar un número impar es m=2n-1, tenemos:

    \(\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\pi}\frac{1}{2n-1}\sin[(2n-1)x] = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}\sin[(2n-1)x] \)

Y para la representación gráfica hacemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow f(x) = \frac{4}{\pi}\sin x \\ \\ \\ n= 2 \Rightarrow h(x) = \frac{4}{3\pi}\sin 3x \Rightarrow f(x) = \frac{4}{\pi}(\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x) \\ \\ \\ n= 3 \Rightarrow g(x) = \frac{4}{5\pi}\sin 5x \Rightarrow f(x) =\\ \\ =\frac{4}{\pi}(\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x +\frac{1}{5}\sin 5x ) \end{array} \)

A medida que vamos sumando más términos, la función se acerca más a la función escalón dada.

aroximación análitica de la función escalón

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tema escrito por: José Antonio Hervás