PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Mecánica Cuántica

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 56

La función anterior tiene una amplitud que va descendiendo a medida que \(|x|\) aumenta, y su periodo es \(2\pi/g\).
Por otro lado, según la definición de la función delta, se tiene que cumplir:
    \(\displaystyle \varphi(x) = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x')\delta(x-x')dx' \)
Demostraremos entonces de un modo poco riguroso que la función anterior cumple los requisitos para ser \(\delta_o\). Sabemos que deben cumplirse unas determinadas condiciones que son:
    \(\displaystyle i)\; \textrm{ si } x \rightarrow 0 \Rightarrow \delta_o \rightarrow \infty \; ; \; ii) \textrm{ si } x \neq 0 \Rightarrow \delta_o \rightarrow 0 \; ; \; iii)\quad \int_{-\infty}^\infty \delta_odx \)

La primera condición puede considerarse como límite de una función que no tiene más valores notables que los de una pequeña región que rodee a x = 0, donde presenta un máximo positivo muy pronunciado.

Para la función que estamos estudiando resulta:

    \(\displaystyle \lim_{g\rightarrow\infty}\frac{\sin gx}{\pix} = \lim_{g\rightarrow\infty}\frac{g}{\pi}\frac{\sin gx}{gx} \Rightarrow \lim_{\begin{array}{l} g\rightarrow \infty \\ x\rightarrow 0 \end{array}} \frac{g}{\pi}\frac{\sin gx}{gx}= \lim_{g\rightarrow \infty}\frac{g}{\pi} = \infty \)

Por otra parte, hemos dicho que la función tiene periodo \(2\pi/g\), pero como g tiende a infinito, siempre que nos salgamos del punto x = 0, encontramos a la función anulada. Finalmente, calculamos el valor de la integral:

    \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \lim \frac{\sin gx}{\pi x}dx = \lim_{g\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin gx}{\pi x}dx \)

Haciendo el cambio de variable g.x = z, queda

    \(\displaystyle \lim_{g\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin z}{z/g}\frac{dz}{g} = \lim_{g\rightarrow \infty} \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin z}{z}dz\)

Esta última integral se encuentra tabulada y su valor es \(\pi\), por lo que resulta:

    \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \lim_{g\rightarrow \infty} \frac{\sin gx}{\pi x}dx = \lim \frac{1}{\pi}\pi = 1 \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás