PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 54

Las ecuaciones que se han de cumplir para una partícula que se mueve en un pozo de potencial cadrado son:
    \(\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{2mV_o·a^2}{\hbar^2}\quad ; \quad y = - x\cot x\qquad (1) \)

donde se tiene:

    \(\displaystyle x = \frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar} \quad ; \quad y = \frac{a\sqrt{2m(V_o-E)}}{\hbar} \)

La ecuación (1) representa una circunferencia de radio \(\sqrt{2m(V_o·a^2)}/\hbar\), por lo tanto, según la condición del enunciado tenemos:

    \(\displaystyle V_oa^2 > \frac{\pi^2\hbar^2}{8m} \Rightarrow R > \sqrt{\frac{2m\pi^2\hbar^2}{8m\hbar^2}} = \frac{\pi}{2} \)

por lo que R es un poco mayor que \(\pi/2\). Representando gráficamente la función y=-x.cotg x vemos que solo se produce un corte con la circunferencia. Este punto representa el primer estado de energía ligado.

gráfica de la función x = x.cotangente  x

Para obtener el punto de corte hacemos un desarrollo de Taylor de la función en torno al punto \(\pi/2\). Tenemos:

    \(\displaystyle f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f"(a) + \cdots \)

Y los distintos valores a considerar son:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} a = \frac{\pi}{2}\; ; \; f(x) -x\cot x \; ; \; f(a) = - \left(\frac{\pi}{2}\right)\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \\ \\ f'(x) = -(\cot x - x\csc x) \Rightarrow f'(a) = \frac{\pi}{2} \\ \\ f"(x) = + \frac{2}{\sin^2 x} - \frac{2x\cos x}{\sin^3 x} \Rightarrow f"(a) = 2\\ \\ f^{\prime \prime \prime}(x) = \left(- \frac{4\sin (x)\cos (x)}{\sin^4 x}\right)- \frac{2\cos x}{\sin^3 x} -\\ \\ - 2x\left(\frac{- \sin^4 x - 3\sin^2 x\cos^2 x}{\sin^5 x}\right)\; ; \; f^{\prime \prime \prime}(a) = \pi \end{array} \)

Por lo que en el desarrollo tendremos:

    \(\displaystyle f(x) = \frac{\pi}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 +\frac{\pi}{6} \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^3 + \cdots \)

Si aproximamos la ecuación al primer término tenemos la ecuación de una recta:

    \(\displaystyle y = - x\cot x \Rightarrow y = \frac{\pi}{2}x - \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \)
y sustituyendo este valor en la primera ecuación:

    \(\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{2mV_oa^2}{h^2} = x^2 + \left(\frac{\pi}{2}x - \frac{\pi^2}{4}\right)^2 \)

por lo que desarrollando y agrupando términos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)x^2 - \frac{\pi^3}{4}x + \frac{\pi^4}{16} = \frac{2mV_oa^2}{\hbar^2}= \\ \\ = \left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)\frac{2mEa^2}{\hbar^2} - \frac{\pi^3}{4}\frac{a\sqrt{2mE}}{\hbar} + \frac{\pi^4}{16} \end{array} \)

donde hemos considerado que \(x = a\sqrt{2mE}/\hbar\).

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tema escrito por: José Antonio Hervás