PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 51

Supongamos que A no tiene degeneración en ninguno de sus autovalores (todos los autovalores son distintos). Si \(\{\phi_n\} \) es un conjunto de autofunciones de A, se cumple:
    \(\hat{A}\phi_n = a_n\phi_n \)
Por otro lado, al ser conmutables \(\hat{A} \; y \; \hat{B}\) tendremos:
    \( \begin{array}{l} \hat{A}\hat{B}\phi_n = \hat{B} \hat{A}\phi_n = \hat{B}a_n\phi_n \Rightarrow \hat{A}(\hat{B}\phi_n) = \\  \\ = a_n (\hat{B}\phi_n) \Rightarrow \hat{B}\phi_n \Rightarrow \textrm{ autofuncion de }\hat{A} \end{array} \)

A esta autofunción \(\hat{B} \phi_n \) le corresponde el autovalor \(a_n \), pero como \( \hat{A} \) es no degenerado, le corresponderá una única autofunción para cada autovalor \(a_n \). Por consiguiente, de:

    \(\begin{array}{l} \hat{A}\phi_n = a_n\phi_n \quad y \quad \hat{A}(\hat{B}\phi_n) = a_n (\hat{B}\phi_n) \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \phi_n \propto \hat{B}\phi_n \Rightarrow \hat{B}\phi_n = b_n\phi_n \end{array} \)
luego, \(\{\phi_n\} \) son autofunciones comunes.

Recíprocamente consideremos que se tiene:

    \(\hat{A}\phi_n = a_n\phi_n \; ;\; \hat{B}\phi_n = b_n\phi_n \; ;\; \textrm{ con } a_n \; y\; b_n \in R , \forall n \)

Podemos hacer entonces:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \hat{A}\hat{B}\psi = \hat{A}\hat{B}\sum_n c_n\phi_n = \hat{A}\sum_n c_nb_n \phi_n = \sum_n c_nb_na_n\phi_n = \\ \\ \sum_n c_nb_na_n\phi_n = \hat{B}\sum_n c_na_n\phi_n \hat{B}\hat{A}\sum_n c_n\phi_n = \hat{B}\hat{A}\psi \end{array} \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás