PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Física Cuántica

Partiendo de la ecuación:
    \(\displaystyle\frac{d}{dt}\langle \hat{X}\rangle_t = \frac{1}{m}\langle \hat{P}\rangle_t \)
Demostrar que la esperanza de la cantidad de movimiento en el instante t es:
    \(\displaystyle \langle \hat{P}\rangle_t = \frac{-4}{\sqrt{3}}\frac{\hbar}{L}\cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2m L^2}\right)t = \frac{-8}{\sqrt{21}}\sqrt{2m \langle \hat{H}\rangle} \cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2m L^2}\right)t \)
Donde en el último paso hemos utilizado la expresión de \(\langle\hat{H}\rangle\) del problema 45. Nótese que \(\langle P\rangle_t\) es,en este caso, sinuidal en el tiempo con amplitud \(\simeq 0,56\sqrt{2m\langle\hat{H}\rangle}\); en cambio, la cantidad de movimiento clásica p(t), tiene forma de onda cuafrada al representarla en función de t, con amplitud \(\sqrt{2mE}\).

Respuesta del ejercicio 48

Para encontrar el valor de la esperanza de la cantidad de movimiento, tenemos:
    \(\displaystyle \langle\hat{P}\rangle_t = m\cdot \frac{d}{dt}\langle\hat{X}\rangle_t\)
Por consiguiente, en nuestro caso, según el resultado final del problema :
    \(\displaystyle \langle\hat{P}\rangle_t = m\cdot \frac{d}{dt}\left[\left(\frac{16\sqrt{3}}{9\pi^2}\right)\frac{L}{2}\cdot\cos\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right)\right] = \)
    \(\displaystyle =- m \left(\frac{16\sqrt{3}}{9\pi^2}\right)\frac{L}{2} \left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}\right)\cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right) = \)
    \(\displaystyle = - \frac{4\hbar}{\sqrt{3}L}\cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right) \)
y utilizando la expresión de \(\langle\hat{H}\rangle\) del problema 45:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{\hbar}{L} = \frac{2}{\sqrt{7}\pi}\sqrt{2m\langle\hat{H}\rangle_t}\Rightarrow \langle\hat{P}\rangle_t = \\  \\ = \frac{8}{\sqrt{21}\pi}\sqrt{2m\langle\hat{H}\rangle_t} \cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right) \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás