PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Mecánica Cuántica

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 47

La expresión de la esperanza de la posición en el instante t será:
    \(\displaystyle \langle\hat{X}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_t^*(x)\cdot \hat{X}\cdot \psi_t(x) dx = \frac{3}{4} \int_{-\infty}^{+\infty}x \eta_1^2(x)dx + \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty}x \eta_2^2(x)dx +\)

    \(\displaystyle+ \frac{\sqrt{3}}{4}\int_{-\infty}^{+\infty} x\left\{exp\left[i(E_1-E_2)t/\hbar\right]\eta_2^* \eta_1 + exp\left[-i(E_1-E_2)t/\hbar\right]\eta_1^* \eta_2\right\} dx\)
Teniendo en cuenta el valor de las funciones propias, tenemos para las dos primeras integrales:
    \(\displaystyle \frac{3}{4} \int_{-\infty}^{+\infty}x \eta_1^2(x)dx = \frac{3}{2L}\int_{-L/2}^{+L/2}x\cos^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right)dx = \frac{3}{2L}\int_{-L/2}^{+L/2}x\left[1 +\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]dx\)

    \(\displaystyle = \left[\frac{3x^2}{8L} + \frac{\cos(2\pi x/L)}{16\pi^2/L} + \frac{x \sin(2\pi x/L)}{8\pi}\right]_{-L/2}^{+L/2} = 0 \)

    \(\displaystyle\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}x \eta_2^2(x)dx = \frac{1}{L}\int_{-L/2}^{+L/2}x\sin^2 \left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx = \frac{1}{2L}\int_{-L/2}^{+L/2}x\left[1 -\cos \left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right]dx \)

    \(\displaystyle = \left[\frac{x^2}{4L} + \frac{\cos(4\pi x/L)}{32\pi^2/L} + \frac{x \sin(4\pi x/L)}{8\pi}\right]_{-L/2}^{+L/2} = 0 \)
Nos queda entonces el resultado:
    \(\displaystyle\langle\hat{X}\rangle_t =\frac{\sqrt{3}}{4}\int_{-L/2}^{+ L/2}x \cdot\eta_1\eta_2\left\{exp[i(E_2 - E_1)t/\hbar ] +exp[-i(E_2 - E_1)t/\hbar ] \right\}dx = \)

    \(\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\int_{-L/2}^{+ L/2}x \cdot\eta_1\eta_2(x)\cdot dx\right\}\cos\left[(E_2 - E_1)t/\hbar\right]\)
Para la integral encerrada en el corchete tenemos :
    \(\displaystyle \int_{-L/2}^{+L/2}x \cdot\eta_1\eta_2(x)\cdot dx =\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{+ L/2}x\cdot \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)dx \)

    \(\displaystyle =\frac{4}{L}\int_{-L/2}^{+L/2} \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx \frac{4}{L}\left[- \frac{L}{3\pi}x\cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]_{-L/2}^{+ L/2} + \)

    \(\displaystyle + \frac{4}{L}\frac{L}{3\pi}\int_{-L/2}^{+L/2}\cos \left(\frac{4\pi x}{L}\right)dx = \frac{4}{3\pi}\int_{-L/2}^{+L/2}\cos \left(\frac{4\pi x}{L}\right)\left[1 - \sin^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]dx \)

    \(\displaystyle \frac{4}{3\pi}\left[\frac{L}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) - \frac{L}{3 \pi}\cdot\sin^3\frac{L}{3 \pi} \right]_{-L/2}^{+L/2} = \frac{4}{3\pi}\cdot\frac{4L}{3\pi} = \frac{16L}{9\pi^2}\)
Por lo que, finalmente, nos quedará:
    \(\displaystyle \langle\hat{X}\rangle_t =\left(\frac{16\sqrt{3}}{9\pi^2}\right)\frac{L}{2}\cdot\cos [(E_2 - E_1)t/\hbar ] = \left(\frac{16\sqrt{3}}{9\pi^2}\right)\frac{L}{2}\cdot\cos\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right) \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás