PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 46

Para obtener la densidad de probabilidad de posición hacemos:
    \(\displaystyle|\psi_t(x)|^2 = \psi_t^*\psi_t = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}exp(iE_1t/\hbar)\eta_1^* + \frac{1}{2}exp(iE_2t/\hbar)\eta_2^*\right) \cdot \)

    \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}exp(iE_1t/\hbar)\eta_1 + \frac{1}{2}exp(-iE_2t/\hbar)\eta_2\right) = \frac{3}{4} \eta_1^* \eta_1 + \frac{1}{4} \eta_2^* \eta_2 +\)

    \(\displaystyle + \frac{3}{4} exp[-i(E_2-E_1)t/\hbar]\eta_2\cdot\eta_1^* + \frac{3}{4} exp[i(E_2-E_1)t/\hbar]\eta_2^*\cdot\eta_1 = \)

    \(\displaystyle\frac{3}{4}|\zeta_1(x)|^2 +\frac{1}{4}|\zeta_2(x)|^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})\eta_1\eta_2\left[exp[i(E_2-E_1)\frac{t}{\hbar}]+exp[-i(E_2-E_1)\frac{t}{\hbar}]\right] \)

    \(\displaystyle = \frac{3}{4}|\zeta_1(x)|^2 +\frac{1}{4}|\zeta_2(x)|^2 + (\sqrt{3}/2)\eta_1\eta_2\cdot\cos\left[\frac{t}{\hbar}(E_2 - E_1)\right] \)
Donde hemos considerado que los vectores propios de la energía para el problema que estamos tratando son números reales, y además hemos tenido en cuenta las expresiones.
    \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{2}[exp (i\alpha) + exp(-i\alpha)] \; ; \; \sin \alpha = \frac{1}{2i} [exp (i\alpha) - exp(-i\alpha)]\)
Para obtener la corriente de probabilidad de posición, aplicamos la fórmula que la define:
    \(\displaystyle S(x,t) = \frac{i\hbar}{2m}\left[\psi^*(x,t)\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} - \psi(x,t)\frac{\partial \psi^*(x,t)}{\partial x} \right]\)
Y escribiendo :
    \(\displaystyle iE_1t/\hbar = k_1 \; ; \;iE_2t/\hbar = k_2 \)
Podemos poner:
    \(\displaystyle S(x,t) = -\frac{i\hbar}{2m}\left\{ \left[\frac{\sqrt{3}}{2}exp(k_1)\eta_1^* + \frac{1}{2}exp(k_2)\eta_2^*\right]\right. \cdot\left[\frac{\sqrt{3}}{2}exp(-k_1)\eta_1^\prime + \right. \)

    \(\displaystyle \left. +\frac{1}{2}exp(-k_2)\eta_2^\prime\right] - \left[\frac{\sqrt{3}}{2}exp(-k_1)\eta_1 + \frac{1}{2}exp(-k_2)\eta_2 \right] \cdot\left[\frac{\sqrt{3}}{2}exp(k_1)\eta_1^{*\prime}\right. +\)

    \(\displaystyle+ = - \frac{i\hbar}{2m}\left[\frac{3}{4}\eta_1^*\eta_1^{\prime} + \frac{1}{4}\eta_2^*\eta_2^{\prime} - \frac{3}{4}\eta_1\eta_1^{*\prime} + \frac{1}{4}\eta_2\eta_2^{*\prime} + \frac{\sqrt{3}}{4}exp(k_2-k_1)\eta_2^*\eta_1^{\prime}\right. + \)

    \(\displaystyle + \left. \frac{\sqrt{3}}{4}exp(-k_2-k_1)\eta_1^*\eta_2^{\prime}- \frac{\sqrt{3}}{4}exp(k_2-k_1)\eta_1\eta_2^{* \prime} - \frac{\sqrt{3}}{4}exp[-(k_2-k_1)]\eta_2\eta_1^{* \prime}\right] \)
Considerando que \(\eta_1 \; y \; \eta_2\) son reales, y volviendo a la notación normal resulta:
    \(\displaystyle S(x,t) = - \frac{i\hbar}{2m}\frac{i\sqrt{3}}{2}\eta_1^{\prime}\eta_2\cdot\sin\frac{t}{\hbar}(E_2-E_1) - \frac{i\sqrt{3}}{2}\eta_1\eta_2^{\prime}\cdot\sin\frac{t}{\hbar}(E_2-E_1) = \)

    \(\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{\hbar}{m}\left(\eta_1^{\prime}(x)\eta_2(x)- \eta_1(x)\eta_2^{\prime}(x)\right)\sin\left[\frac{t}{\hbar}(E_2-E_1)\right] \)
El periodo de una oscilación se define como el inverso de la frecuencia, que viene dada por :
    \(\displaystyle \nu = \omega/2\pi \)
Siendo w la frecuencia cíclica de la oscilación, que en nuestro caso vale:
    \(\displaystyle \omega = \frac{1}{\hbar}(E_2-E_1)= \frac{\pi^2 \hbar 3}{2m L^2}\)
Tenemos así:
    \(\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}= \frac{4mL^2}{3\pi \hbar}\sim\frac{4mL^2}{3\sqrt{3}\pi \hbar} = T_{\mathfrak{A}} \)
Considerando el valor de las funciones propias de la energía, podemos escribir:
    \(\displaystyle |\psi_t(x)|^2 = \frac{3}{2L}\cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) + \frac{1}{2L}\sin^2\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) + \)
    \(\displaystyle + \frac{\sqrt{3}}{L}\cdot \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)\cdot \cos\left[\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}\right)t\right] \)
Y para los valores dados resulta:
    \(\displaystyle|\psi_t(0)|^2 = \frac{3}{2L} \; ; \; |\psi_t(L/4)|^2 = \frac{5}{2L} + \frac{6}{2L}\cdot \cos\left[\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}\right)t\right] \)

    \(\displaystyle|\psi_t(L/3)|^2 = \frac{3}{2L}\left\{1 + \cos\left[\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}\right)t\right]\right\}\; ; \;|\psi_t(L/2)|^2 = 0 \)
Análogamente, para la corriente de probabilidad de posición tenemos:
    \(\displaystyle S(x,t) = - \frac{\hbar}{m}\frac{2\sqrt{3}}{4L}\frac{\pi}{L}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cdot\sin\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) + \frac{2\pi}{L} \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cdot\cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) \)

    \(\displaystyle\cdot \sin\left[\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}\right)t\right] \)
Y para los valores dados resulta:
    \(\displaystyle S(0,t) = - \frac{\pi\sqrt{3}\hbar}{mL^2}\cdot\sin\left[\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right]\; ; \;S(L/4,t) = - \frac{\pi\sqrt{6}\hbar}{mL^2}\cdot\sin\left[\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right]\)

    \(\displaystyle S(L/3,t) = - \frac{\pi\sqrt{3}\hbar}{mL^2}\cdot\sin\left[\frac{3\pi^2 \hbar}{2mL^2}t\right]\; ; \;S(L/2,t) = 0 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás