PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Mecánica Cuántica

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 45

De la expresión general para \(\psi_t\) en función de los vectores propios de \(\hat{H}\), obtenemos:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \psi_t = \sum_{k=1}^\infty (\eta_n, \psi_o)exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n = \\
     \\
    \sum_{k=1}^\infty\left(\eta_n , (\frac{\sqrt{3}}{2}\eta_1 +\frac{1}{2}\eta_2\right)exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n = \\
     \\
    \frac{\sqrt{3}}{2}(\eta_1, \eta_1)exp(-iE_1t/\hbar)\eta_1+ \frac{1}{2}\!(\eta_2, \eta_2)exp(-iE_2t/\hbar)\eta_2= \\
     \\
    = \frac{\sqrt{3}}{2}exp(-iE_1t/\hbar)\eta_1 + \frac{1}{2} exp(-iE_2t/\hbar)\eta_2
    \end{array}\)
Midiendo la energía del sistema en el instante t podemos los valores E1 y E2 y las probabilidades respectivas vienen dadas por:
    \(\displaystyle P(E_1)= |(\psi_t , \eta_1)|^2 = \frac{3}{4}\; ; \;P(E_2)= |(\psi_t , \eta_2)|^2 = \frac{1}{4} \)
Para el valor medio y la incertidumbre de \(\hat{H}\) tenemos:
    \(\displaystyle\langle \hat{H}\rangle \sum_{k=1}^\infty |(\eta_k, \psi_t)|^2E_k = \frac{3}{4}E_1 +\frac{1}{4}E_2 = \)
    \(\displaystyle = \frac{3}{4}\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\cdot 1^2 +\frac{1}{4}\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\cdot 2^2 =\left( \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\right)\frac{7}{4} \)
Y para \(\triangle \hat{H}_t\) teniendo en cuenta la anterior:
    \(\displaystyle \triangle \hat{H}_t = \left[\left(\frac{3}{4}E_1^2 +\frac{1}{4}E_2^2\right)- \left(\frac{3}{4}E_1 +\frac{1}{4}E_2\right)^2\right]^{1/2} = \)

    \(\displaystyle\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\left[(3/16)1 +(3/16)16 - (3/8)4 \right]^{1/2} = \left(\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{4} \)
Sabemos por la relación de incertidumbre tiempo-energía que dicha expresión nos dice que la evolución temporal de cualquir observable \(\mathfrak{A}\) viene condicionada por:
    \(\displaystyle T_{\mathfrak{A}}\triangle \hat{H} \geq \hbar/2 \)
De ahí para el caso que estamos considerando, el tiempo de evolución cumplirá:
    \(\displaystyle T_{\mathfrak{A}}\geq \frac{\displaystyle \frac{\hbar}{2}}{\triangle \hat{H}}= \frac{\hbar}{2} : \left( \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{4} \Rightarrow T_{\mathfrak{A}}\geq \frac{4mL^2}{3\sqrt{3}\pi^2 \hbar} \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás