Ejercicios de Física Cuántica
Supongamos que el vector de estado inicial es:
\(\psi_o(x) = (\sqrt{3}/2)\eta_1(x) + (1/2)\eta_2(x)\)
¿Cual es \(\psi_t(x)\)?. Si se mide la energía en el instante
t, ¿ que valores pueden pueden obtenerse y cuales son sus
probabilidades respectivas?. Utilizando las expresiones :
\(\displaystyle \langle\hat{A}\rangle_t = \sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k,
\psi_t)\right|^2A_k \)
\(\displaystyle \langle\hat{A}\rangle_t = \sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k,
\psi_t)\right|^2A_k \triangle\hat{A}_t = \sqrt{ \sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k,
\psi_t)\right|^2A_k^2 - \left(\sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k,
\psi_t)\right|^2A_k \right)} \)
Demostrar que se verifica:
\(\displaystyle \langle \hat{H}\rangle_t = \left(\frac{\pi^2
\hbar^2}{2m L^2}\right)\frac{7}{4} \; ; \;\triangle \hat{H}_t
= \left(\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{4}
\)
Probar que la evolución temporal de un observable cualquiera
no puede ser inferior a:
\(\displaystyle \frac{4mL^2}{3\sqrt{3}\pi^2 \hbar} \)
Respuesta del ejercicio 45
De la expresión general para \(\psi_t\) en función
de los vectores propios de \(\hat{H}\), obtenemos:
\(\displaystyle\begin{array}{l}
\psi_t = \sum_{k=1}^\infty (\eta_n, \psi_o)exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n
= \\
\\
\sum_{k=1}^\infty\left(\eta_n , (\frac{\sqrt{3}}{2}\eta_1 +\frac{1}{2}\eta_2\right)exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n
= \\
\\
\frac{\sqrt{3}}{2}(\eta_1, \eta_1)exp(-iE_1t/\hbar)\eta_1+ \frac{1}{2}\!(\eta_2,
\eta_2)exp(-iE_2t/\hbar)\eta_2= \\
\\
= \frac{\sqrt{3}}{2}exp(-iE_1t/\hbar)\eta_1 + \frac{1}{2} exp(-iE_2t/\hbar)\eta_2
\end{array}\)
Midiendo la energía del sistema en el instante t podemos
los valores E
1 y E
2 y las probabilidades
respectivas vienen dadas por:
\(\displaystyle P(E_1)= |(\psi_t , \eta_1)|^2 = \frac{3}{4}\;
; \;P(E_2)= |(\psi_t , \eta_2)|^2 = \frac{1}{4} \)
Para el valor medio y la incertidumbre de \(\hat{H}\) tenemos:
\(\displaystyle\langle \hat{H}\rangle \sum_{k=1}^\infty |(\eta_k,
\psi_t)|^2E_k = \frac{3}{4}E_1 +\frac{1}{4}E_2 = \)
\(\displaystyle = \frac{3}{4}\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\cdot
1^2 +\frac{1}{4}\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\cdot 2^2 =\left(
\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\right)\frac{7}{4} \)
Y para \(\triangle \hat{H}_t\) teniendo en cuenta la anterior:
\(\displaystyle \triangle \hat{H}_t = \left[\left(\frac{3}{4}E_1^2
+\frac{1}{4}E_2^2\right)- \left(\frac{3}{4}E_1 +\frac{1}{4}E_2\right)^2\right]^{1/2}
= \)
\(\displaystyle\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\left[(3/16)ˇ1 +(3/16)ˇ16
- (3/8)ˇ4 \right]^{1/2} = \left(\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{4}
\)
Sabemos por la relación de incertidumbre tiempo-energía
que dicha expresión nos dice que la evolución temporal
de cualquir observable \(\mathfrak{A}\) viene condicionada por:
\(\displaystyle T_{\mathfrak{A}}\triangle \hat{H} \geq \hbar/2
\)
De ahí para el caso que estamos considerando, el tiempo
de evolución cumplirá:
\(\displaystyle T_{\mathfrak{A}}\geq \frac{\displaystyle \frac{\hbar}{2}}{\triangle
\hat{H}}= \frac{\hbar}{2} : \left( \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{4}
\Rightarrow T_{\mathfrak{A}}\geq \frac{4mL^2}{3\sqrt{3}\pi^2
\hbar} \)