PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 44

Tenemos que la incertidumbre de la cantidad de movimiento viene dada por:
    \(\displaystyle \triangle \hat{P}_t = \sqrt{\langle\hat{P}^2\rangle_t- \langle\hat{P}\rangle_t^2} \)
Y para cada uno de los valores medios tenemos:
    \(\displaystyle\langle\hat{P\rangle}_t = (\psi_t(x), \hat{P}\psi_t(x)) = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_t^*(x)[P\psi_t(x)] dx \)
Si consideramos que la partícula se encuentra en el estado estacionario cuya función estado es de la forma:
El nivel energético mínimo valdrá en este caso:
    \(\displaystyle\psi_t^{(n)}(x)\equiv exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n(x) \; \textrm{con }n = 1,2,3,\cdots \)
Podemos escribir:
    \(\displaystyle \langle\hat{P\rangle}_t =\int_{-L/2}^{+L/2}exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n^*(x)\cdot\hat{P}[exp(-iE_nt/\hbar)\eta_n(x)] dx = \)

    \(\displaystyle \int_{-L/2}^{+L/2}\eta_n^*(x)\cdot\hat{P}[\eta_n(x)]dx =\left[\mp i\hbar\frac{2}{L}\sin^2\frac{\pi n x}{L}\right]_{-L/2}^{L/2} = 0 \)
Donde hemos puesto el sino + y el sino (-) para indicar que tomamos para \(\eta_n(x)\) un valor par o impar.
Por otra parte, para el valor medio del cuadrado de la cantidad de movimiento resulta:
    \(\displaystyle \langle\hat{P\rangle}_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\eta_n^*(x) \hat{P}^2[\eta_n(x)]dx = \frac{2}{L}\hbar^2\frac{\pi^2 n^2}{L^2}\int_{-L/2}^{+L/2}\sin^2 \frac{\pi nx}{L}dx \)

    \(\displaystyle\frac{2}{L}\hbar^2\frac{\pi^2 n^2}{L^2}\int_{-L/2}^{+L/2}\cos^2 \frac{\pi nx}{L}dx \)
Vemos que es indistino que tomemos n par o impar, ya que el valor de amvas integrales anteriores es el mismo con lo que resulta:
    \(\displaystyle \langle\hat{P}^2\rangle_t = \frac{2}{L}\hbar^2\frac{\pi^2 n^2}{L^2}\times\frac{L}{2} = \hbar^2\frac{\pi^2 n^2}{L^2} \)
Con todo ello, podemos pone:
    \(\displaystyle \triangle \hat{P}_t = \sqrt{\langle\hat{P}^2\rangle_t- \langle\hat{P}\rangle_t^2} = \sqrt{ \langle\hat{P}\rangle_t^2- 0 }= \frac{\pi \hbar n}{L} =\frac{\pi \hbar }{L}·n \)
Y el valor mínimo que puede tomar esta expresión es \(\pi \hbar/L\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás