PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Física Cuántica

Con los resultados obtenidos en los ejercicios 39 y 40, demostrar que los valores propios de la energía en el pozo cuadrado infinito son:
    \(\displaystyle E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}n^2 \; , \; \textrm{ con } n = 1,2,3,\cdots\)
Y los vectores propios de la energía correspondientes son:
    \(\displaystyle\eta_n = \left \{ \begin{matrix} \sqrt{(2/L·}\cos (n \pi /L)x & n = 1,3,5.\cdots
    \\ \sqrt{(2/L}·\sin (n \pi /L)x & n = 2,4,6.\cdots\end{matrix}\right. \)
donde se han elgido las constantes An y Bn de manera que se satisfaga la condición de normalización:
    \(\displaystyle(\eta_n , \eta_n)\equiv \int_{-L/2}^{+ L/2}|\eta_n(x)|^2ˇdx = 1\)
Comprobar que las funciones anteriores satisfacen las condiciones de ortogonalidad, para ello serán útiles las identidades:
    \(\displaystyle \int_{-a/2}^{+ a/2}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx = \int_{-a/2}^{+ a/2}\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx =\)

    \(\displaystyle = \left \{ \begin{matrix} 0 & m \neq n \\ a/2 & m = n \end{matrix}\right.\)

    \(\displaystyle \int_{-a/2}^{+ a/2}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot \cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = 0 \)
Demostrar que la relación de los niveles energéticos en torno al valor En es:
    \(\displaystyle \frac{E_{n+1}-E_n}{E_n}= \frac{2n+1}{n^2} \simeq \frac{2}{n}\)
Respuesta del ejercicio 41

Según el primero de los apartados se deve cumplir:

    \(\displaystyle \frac{\hbar^2}{2m}(A_n \cos k_n x)^{\prime \prime}= E_n A_n \cos k_n x \Rightarrow \frac{\hbar^2}{2m}\cdot k_n^2 = E_n \)

    \(\displaystyle \frac{\hbar^2}{2m}(A_n \sin k_n x)^{\prime \prime}= E_n B_n \sin k_n x \Rightarrow \frac{\hbar^2}{2m}\cdot k_n^2 = E_n \)
Por lo tanto, teniendo en cuenta los resultados (1) y (2) del ejercicio 40, obtenemos:
    \(\displaystyle E_n = \frac{\hbar^2}{2m}\cdot k_n^2 = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n \pi}{L}\right)^2 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}n^2 \; ; \; \textrm{ con } n = 1,2,3, \cdots\)
Para la segunda parte de este apartado lo que hemos de demostrar es que las funciones son ortogonales. Para ello consideramos la sugerencia del enunciado y escribimos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int_{L/2}^{+L/2} A_n^2 \cdot \cos \frac{n \pi}{L}x \cdot \cos \frac{n \pi}{L}x dx = \\  \\ \left \{ \begin{matrix} 0 & \textrm{si } n\neq m \\ 1 & \textrm{si } n = m\end{matrix}\right\} A_n^2 \int_{L/2}^{+L/2}\cos^2 \frac{n \pi}{L}x dx = \\  \\ = A_n^2 (L/2) = 1 \rightarrow A_n = \sqrt{2/L} \end{array}\)

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \int_{L/2}^{+L/2} B_n^2 \cdot \sin \frac{n \pi}{L}x \cdot \sin \frac{n \pi}{L}x dx = \\
     \\
    \left \{ \begin{matrix} 0 & \textrm{si } n\neq m \\ 1 & \textrm{si } n = m\end{matrix}\right\} B_n^2 \int_{L/2}^{+L/2}\sin^2 \frac{n \pi}{L}x dx = \\
     \\
    = = B_n^2 (L/2) = 1 \rightarrow B_n = \sqrt{2/L}
    \end{array} \)

Sin necesidad de considerar el valor de An y Bn podemos hacer:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{L/2}^{+L/2}A_m^*\cdot \cos \frac{m \pi}{L}x \cdot B_n\sin \frac{n \pi}{L}x dx = \\
     \\
    = A_m^*\cdot B_n \int_{L/2}^{+L/2} \cos \frac{m \pi}{L}x \sin \frac{n \pi}{L}x dx = 0
    \end{array}\)
Y por ello resuta que los vectores propios de la energía son los dados por el enunciado, es decir:
    \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{L}}\cos \frac{n \pi}{L}x \; ; \; \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n \pi}{L}x \)
bdonde n recorre alternativamente el conjunto de los números impares y de los pares.
Considerando el valor En obtenido en el apartado anterior, tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{E_{n+1}- E_n}{En} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2}= \\  \\ = \frac{(n+1+n)(n+1-n)}{n^2} =\frac{2n+1}{n^2}\simeq\frac{2}{n} \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás