PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Demostrar que la igualdad:
    \(\displaystyle \langle F(\hat{X})\rangle_t = F( \langle\hat{X}\rangle_t)\)
Es válida para los casos particulares:

    \(\displaystyle F(x) = 0 \; ; \; F(x) = k \; ; \;F(x) = k\cdot x\)

Siendo k un número real.

Concluir así que en estos tres casos, \(\langle\hat{X}\rangle_t\; y \; \langle\hat{P}\rangle_t\) obedecen a las leyes clásicas del movimiento.
Demostrar, por otro lado que la igualdad anterior no es válida para

    \(F(x) = x^2 \)
Respuesta del ejercicio 38

Sabemos por teoría que la esperanza de un operador se define mediante la ecuación:
    \(\displaystyle \langle\hat{A}\rangle_t = (\psi_t , \hat{A}\psi_t) =\int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x,t)\cdot\hat{A}\psi(x,t)] dx\)
Por consiguiente, podemos hacer: para el primer caso
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \langle F(x)\rangle_t = \int _{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x,)[F(x)\cdot\psi(x,)]dx = \\  \\ = \int _{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x,)[0\cdot\psi(x,)]dx = 0 \\  \\ \langle\hat{X}\rangle_t =F \left( \int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)\cdot x\cdot\psi(x)]dx \right) = F[f(x)] = 0 \end{array}\)
Para el segundo caso
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \langle F(x)\rangle_t =\int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)[F(x)\cdot \psi(x)]]dx = \\  \\ = \int _{-\infty}^{+\infty} [\psi^*[k\cdot \psi]]dx= k\int _{-\infty}^{+\infty} [\psi^* \psi]dx = k \\  \\ F(\langle\hat{X}\rangle_t) = F \left(\int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)\cdot x\cdot \psi(x)]dx\right) = F[f(x)] = k \end{array}\)
Donde hemos tenido en cuenta que ψ(x) está normalizada.
Para el tercer caso
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \langle F(x)\rangle_t = \int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^* [F(x) \psi]]dx = \\  \\ = \int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*[kx\psi]]dx =k \int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^* x\psi ]dx = k \langle\hat{X}\rangle_t \\  \\ F(\langle\hat{X}\rangle_t) \!=\! F\left(\int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)\: x\:\psi(x)]dx \right)\!=\! F[\langle\hat{X}\rangle_t]\! =\! k \langle\hat{X}\rangle_t \end{array}\)
Finalmente, para el último caso:
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \langle F(x)\rangle_t = \int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)\cdot [F(x)\cdot \psi(x)]]dx = \\  \\ \int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*[x^2\cdot\psi]]dx = \int _{-\infty}^{+\infty} x^2|\psi|^2 dx\\  \\ F(\langle\hat{X}\rangle_t)= F\left(\int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)\cdot x\cdot\psi(x)]dx \right) = \\  \\ = \left(\int _{-\infty}^{+\infty}[\psi^*(x)\cdot x\cdot\psi(x)]dx \right)^2 \end{array} \)
Y, claramente, los dos resultados finales no son iguales.
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tema escrito por: José Antonio Hervás