PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Probar que se cumple la relación:
    \(\displaystyle \hat{H}\cdot\hat{X} - \hat{X}\cdot\hat{H} = \imath\hbar\cdot\frac{1}{m}\cdot\hat{P}\)
Siendo \(\hat{X}\; y \; \hat{P}\), respectivamente, el operador hamiltoniano y el operador posición.

Respuesta del ejercicio 36

Para llegar al resultado buscado, aplicamos el operador a un vector cualquiera de H:
    \( \begin{array}{l} (\hat{H}\hat{X}-\hat{X}\hat{H})\emptyset(x) =(\hat{H}\hat{X})\emptyset(x)-(\hat{X}\hat{H})\emptyset(x) = \\  \\ = \hat{H}[\hat{X}\emptyset(x)]-\hat{X}[\hat{H}\emptyset(x)] \end{array}\)
Y recordando cómo se expresan el operador hamiltoniano y el operador posición:

    \(\displaystyle \left[-\frac{h^2}{2m}\cdot\frac{d^2}{dx^2}+ V(x)\right][x\cdot \emptyset(x)] - x\left[-\frac{h^2}{2m}\cdot\frac{d^2}{dx^2}\{\emptyset(x)\}+ V(x)\cdot\emptyset(x)\right] \)

    \(\displaystyle -\frac{h^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}[x \cdot \emptyset(x)] +V(x)\cdot x\cdot \emptyset(x) + \frac{x\cdot h^2}{2m} \frac{d^2\emptyset(x)}{dx^2} -x\cdot V(x)\cdot\emptyset(x) = \)

    \(\displaystyle = -\frac{h^2}{m}\cdot\frac{d^2\emptyset(x)}{dx^2} = (-\imath\hbar)\cdot \frac{1}{m}\left(-\imath\hbar\frac{d}{dx}\right)\emptyset(x) \)

Por lo que, finalmente, poniendo:

    \(\displaystyle\hat{P} = \imath\hbar\cdot\frac{d}{dx} \)
Nos queda:

    \(\displaystyle\hat{H}\hat{X}- \hat{X}\hat{H} = - \imath\hbar\cdot\frac{1}{m}\cdot \hat{P} \)

Puesto que Ø(x) es un vector arbitrario.
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tema escrito por: José Antonio Hervás