PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 32

De la definición de corriente de probabilidad de posición, tenemos:

    \(\displaystyle S(x,t) = - \frac{\imath\hbar}{2m}\left[\psi_t^*(x)\frac{\partial\psi_t(x) }{\partial x} -\psi_t(x)\frac{\partial\psi_t^*(x)}{\partial x}\right] = \)

    \(\displaystyle = \frac{\hbar}{m}\frac{1}{2i}\left[\psi^*\frac{\partial\psi_t(x) }{\partial x} - \psi\frac{\partial\psi^*(x) }{\partial x}\right] \)

Por otro lado, podemos hacer:

    \(\displaystyle \left(\psi^*(x,t)\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x}\right)^* = \psi(x,t)\frac{\partial \psi^*(x,t)}{\partial x}\)

Por lo que, evidentemente, teniendo en cuenta las ecuaciones iniciales, resulta:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} S(x,t) = \frac{\hbar}{m}\frac{1}{2i}\left[\left(\psi^*\frac{\partial\psi_t(x) }{\partial x}\right) - \left(\psi^*\frac{\partial\psi_t(x) }{\partial x}\right)^* \right] = \\  \\ = \frac{\hbar}{m}Im\left[\psi^*\frac{\partial\psi_t(x) }{\partial x}\right] \end{array} \)

Como queríamos demostrar.

Si el sistema se encuentra en un estado estacionario, tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \psi^n(x,t) = \textrm{exp}\left(-i\frac{E_nt}{\hbar}\right)\times\eta_n(x) \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow [\psi^n(x,t)]^*= \textrm{exp}\left(i\frac{E_nt}{\hbar}\right)\times\eta_n(x) \end{array} \)

Donde hemos considerado por la hipótesis del enunciado que \(\eta_n(x)\) es un número real puro. Introduciendo estos valores en la expresión obtenida para S(x, t) nos queda:

    \(\displaystyle S(x,t) \!=\! \frac{\hbar}{m}Im\left[\psi^*\frac{\partial\psi_t(x)}{\partial x}\right] \!=\! \frac{\hbar}{m}Im\left[\eta_n(x) \frac{\partial}{\partial x}\eta_n(x)\right]\! =\! 0 \)

Puesto que al ser \(\eta_n(x)\) un número real puro, su parte imaginaria es nula.
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tema escrito por: José Antonio Hervás