PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 31

La velocidad de variación temporal de \(P(x_1, x_2 ; t)\) se expresa:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{d}{dt}\left[P(x_1, x_2 ; t)\right] = \frac{d}{dt}\int_{x_1}^{x_2}\left[\psi^*(x,t)\cdot\psi(x,t)\right]dx = \\  \\ = \int_{x_1}^{x_2}\left[\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}+ \psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right]dx \end{array} \)

Pero utilizando la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo junto con su compleja conjugada, tenemos:

    \(\displaystyle \imath\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x} = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+ V\psi \; ; \; -\imath\hbar\frac{\partial\psi^*}{\partial x} = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+ V\psi^*\)

Y a partir de ahí podemos reescribir la anterior expresión:

    \(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\left[\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}+ \psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right]dx = \)

    \(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\left[\psi^*\left(- \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+ \frac{1}{i \hbar}V\psi\right)+ \psi\left(- \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{1}{i \hbar} V\psi^*\right)\right]dx\)

    \(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{i \hbar}{2m}\psi^*\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}- \frac{i}{\hbar}V\psi^*\psi - \frac{i \hbar}{2m}\psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar} V\psi\psi^*\right]dx =\)

    \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{i \hbar}{2m}\psi^*\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}- \frac{i}{\hbar}V|\psi(x,y)|^2\! -\! \frac{i \hbar}{2m}\psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar} V|\psi(x,y)|^2\right]dx = \)

    \(\displaystyle\frac{i \hbar}{2m} \int_{x_1}^{x_2}\left[\psi^*\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}- \psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\right]dx \)

Y queda demostrado lo que nos proponíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás