Ejercicios de Física Cuántica

A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio número ocho, probar que si M_A da uno cualquiera de los valores A₃, A₄, ... , A_n , entonces M'_A dará necesariamente el mismo resultado.

Probar también que si M_A da el valor A₁, existe entonces una probabilidad 5/8 de que M'_A dé A₁ y una probabilidad 3/8 de que M'_A de A₂.

Respuesta del ejercicio26

Según lo visto en dicho ejercicio, después de que M_A dé uno cualquiera de los valores A₃, A₄, ... , A_n ,el sistema se encuentra en el estado α₃(x), α₄(x), ..., α_n(x) , respectivamente.

Así pues, la medida de M_E en el estado α_n (con n > 3) nos dará :

\(\displaystyle\left(\alpha_n(x), \hat{E}\left(\alpha_n(x)\right)\right)= \left(\alpha_n(x), \hat{E}\left(\beta_n(x)\right)\right) = \left(\alpha_n(x), E_n\beta_n(x)\right) = \)

\(\displaystyle = \left(\alpha_n(x), E_n\alpha_n(x)\right) = E_n \left(\alpha_n(x), \alpha_n(x)\right) = E_n \; ; \textrm{ con } n \geq 3 \)

y el sistema se encuentra en el estado β_n; Para obtener la medida de M'_A en el estado β_n hacemos :

\(\begin{array}{l}
\left(\beta_n(x), \hat{A}\left(\beta_n(x)\right)\right)=\left(\beta_n(x), \hat{A}\left(\alpha_n(x)\right)\right)= \\
 \\
= \left(\alpha_n(x), A_n\alpha_n(x)\right)= A_n \; ; \textrm{ con } n \geq 3
\end{array} \)

y, por consiguiente, M'_A da el mismo resultado que M_A.

d) Las probabilidades respectivas se pueden obtener mediante la expresión :

\(\displaystyle \sum_i^n |(\beta_i, \alpha_i)|^2|(\alpha_m, \beta_i)|^2\)

y para cada uno de los casos tenemos :

\(\displaystyle|(\beta_1, \alpha_1)|^2|(\alpha_1, \beta_1)|^2 + |(\beta_2, \alpha_1)|^2|(\alpha_1, \beta_2)|^2 + \)

\(\displaystyle + |(\beta_1, \alpha_1)|^2|(\alpha_2, \beta_1)|^2 + |(\beta_, \alpha_1)|^2|(\alpha_2, \beta_2)|^2 \)

Siendo cada uno de los productos escalares

\(\displaystyle\left(\beta_1, \alpha_1\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2, \alpha_1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_1,\alpha_1\right) + \frac{1}{2}\left(\alpha_2,\alpha_1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\(\displaystyle\left(\beta_2, \alpha_1\right) = \left(\frac{1}{2}\alpha_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2, \alpha_1\right) = \frac{1}{2}\left(\alpha_1,\alpha_1\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_2,\alpha_1\right) = \frac{1}{2} \)

\(\displaystyle\left(\beta_1, \alpha_2\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2, \alpha_1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_1,\alpha_2\right) + \frac{1}{2}\left(\alpha_2,\alpha_2\right) = \frac{1}{2} \)

\(\displaystyle\left(\beta_2, \alpha_2\right) = \left(\frac{1}{2}\alpha_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2, \alpha_2\right) = \frac{1}{2}\left(\alpha_1,\alpha_2\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_2,\alpha_2\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores, tenemos para cada una de las probabilidades :

Probabilidad de que M'_A dé la medida A₁:\(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4} +\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

Probabilidad de que M'_A dé la medida A₂:\(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4} +\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)