PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio26

Según lo visto en dicho ejercicio, después de que MA dé uno cualquiera de los valores A3, A4, ... , An ,el sistema se encuentra en el estado α3(x), α4(x), ..., αn(x) , respectivamente.

Así pues, la medida de ME en el estado αn (con n > 3) nos dará :

    \(\displaystyle\left(\alpha_n(x), \hat{E}\left(\alpha_n(x)\right)\right)= \left(\alpha_n(x), \hat{E}\left(\beta_n(x)\right)\right) = \left(\alpha_n(x), E_n\beta_n(x)\right) = \)

    \(\displaystyle = \left(\alpha_n(x), E_n\alpha_n(x)\right) = E_n \left(\alpha_n(x), \alpha_n(x)\right) = E_n \; ; \textrm{ con } n \geq 3 \)

y el sistema se encuentra en el estado βn; Para obtener la medida de M'A en el estado βn hacemos :

    \(\begin{array}{l}
    \left(\beta_n(x), \hat{A}\left(\beta_n(x)\right)\right)=\left(\beta_n(x), \hat{A}\left(\alpha_n(x)\right)\right)= \\
     \\
    = \left(\alpha_n(x), A_n\alpha_n(x)\right)= A_n \; ; \textrm{ con } n \geq 3
    \end{array} \)

y, por consiguiente, M'A da el mismo resultado que MA.

d) Las probabilidades respectivas las obtenemos mediante la expresión :

    \(\displaystyle \sum_i^n |(\beta_i, \alpha_i)|^2|(\alpha_m, \beta_i)|^2\)

y para cada uno de los casos tenemos :

    \(\displaystyle|(\beta_1, \alpha_1)|^2|(\alpha_1, \beta_1)|^2 + |(\beta_2, \alpha_1)|^2|(\alpha_1, \beta_2)|^2 + \)

    \(\displaystyle + |(\beta_1, \alpha_1)|^2|(\alpha_2, \beta_1)|^2 + |(\beta_, \alpha_1)|^2|(\alpha_2, \beta_2)|^2 \)
Siendo cada uno de los productos escalares

    \(\displaystyle\left(\beta_1, \alpha_1\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2, \alpha_1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_1,\alpha_1\right) + \frac{1}{2}\left(\alpha_2,\alpha_1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

    \(\displaystyle\left(\beta_2, \alpha_1\right) = \left(\frac{1}{2}\alpha_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2, \alpha_1\right) = \frac{1}{2}\left(\alpha_1,\alpha_1\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_2,\alpha_1\right) = \frac{1}{2} \)

    \(\displaystyle\left(\beta_1, \alpha_2\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2, \alpha_1\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_1,\alpha_2\right) + \frac{1}{2}\left(\alpha_2,\alpha_2\right) = \frac{1}{2} \)

    \(\displaystyle\left(\beta_2, \alpha_2\right) = \left(\frac{1}{2}\alpha_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2, \alpha_2\right) = \frac{1}{2}\left(\alpha_1,\alpha_2\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\alpha_2,\alpha_2\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores, tenemos para cada una de las probabilidades :
Probabilidad de que M'A dé la medida A1:\(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4} +\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

Probabilidad de que M'A dé la medida A2:\(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4} +\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás