PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio25

Aplicando la ley de Wien tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \lambda_{máx} T = 0,204 \times \frac{hc}{k} = 2,897 \times 10^{-3}m/ºK \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \lambda_{máx_2} = 1,07 \times 10^{-3}m \end{array} \)

Por otro lado, según tenemos del ejercicio 22:

    \(\displaystyle R_T (\lambda) =\frac{c}{4}\frac{8\pi\cdot hc}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)}\)

Y de ahí:

    \(\displaystyle\begin{array}{l} R_T (\lambda) = 10^{-2}\cdot R_T(\lambda_{máx})\Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \frac{1}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)}= 10^{-2}\times \frac{1}{\lambda_m^5(e^{hc/\lambda_m kT}-1)} \end{array} \)

Expresión que también podemos escribir:

    \(\displaystyle \lambda_m^5(e^{hc/\lambda_m kT}-1) = 10^{-2}\times \lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1) \)

Por el resultado anterior conocemos el valor de λmáx. además haciendo el cambio de variable λmáx = hc/xkT resulta:

    \(\displaystyle \lambda_m^5(e^{hc/\lambda_m kT}-1) = 10^{-2}\times\left(\frac{hc}{xkT}\right)^5(e^x - 1) \)

Y considerando los valores:

    \(\displaystyle\lambda_{máx} = 1,07 \times 10^{-3}m \; ; \; h = 6,626 \times 10^{-34}J\cdot s \)

    \(\displaystyle c = 3 \times 10^8 \frac{m}{s}\; ; \; k = 1,38 \times 10^{-34}J\cdot ºK ^{-5} \)

Obtenemos finalmente la ecuación:

    \(4,7167 \cdot x^5 = (e^x - 1) \)

Por simple tanteo podemos ver que la ecuación tiene dos raíces situadas aproximadamente en x = 15 y x = 1. Aplicando dos veces el método de aproximaciones sucesivas dado por:

    \(\displaystyle F(x) = F(x_i) + \left. \frac{F(x)}{dx}\right|_{x = x_i}\cdot (e^x - 1) \)

Obtenemos para cada raíz los valores:

    \(x_1 = 15,1367 \; ; \; x_2 = 0,7496 \)
Por lo que las longitudes de onda deseadas son:

    \(\displaystyle\lambda_1 = \frac{hc}{kT}\times\frac{1}{x_1} = 0,0352 \, cm \, ; \,\lambda_2 = \frac{hc}{kT}\times\frac{1}{x_2} = 0,7109\; cm \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás