PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Respuesta del ejercicio 22

La potencia radiada por unidad de área en el intervalo de longitudes de onda entre λ0 y λ1 viene dada por:

    \(\displaystyle P(\lambda_0, \lambda_1) = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}R_T(\lambda)d\lambda \)

En el ejercicio 21 hemos visto que se cumple:

    \(\displaystyle R_T(\nu) =\frac{\rho_T(\nu)c}{4} \)

Y por teoría, sabemos que se tiene:

    \(\displaystyle \rho_T (\lambda) = \rho_T (\nu)\frac{d\nu}{d\lambda} = \rho_T (\nu)\frac{c}{\lambda^2}\quad \textrm{ por ser }\nu = c/\lambda\)

En consecuencia:

    \(\displaystyle R_T (\lambda) =\frac{c}{4}\frac{8\pi\cdot hc}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)} \Rightarrow P(\lambda_0 , \lambda_1) = \)

    \(\displaystyle = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}R_T (\lambda)d\lambda = 2\pi c^2 h \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \frac{d\lambda}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)} \)
Haciendo el cambio de variable\(\frac{hc}{\lambda k T}= x\) resulta:

    \(\displaystyle dx =- \frac{hc}{kT}\frac{d\lambda}{\lambda^2}\Rightarrow d\lambda = - \frac{hc}{kT}\frac{dx}{x^2} \)

Y sustituyendo:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    P(\lambda_0, \lambda_1) =2\pi c^2 h \int_{x_0}^{x_1} \frac{\displaystyle \frac{hc}{kT}\frac{dx}{x^2}}{\left(\frac{hc}{xkT}\right)^5(e^x -1)} = \\
     \\
    = \int_{x_0}^{x_1}2\pi c^2 h \left(\frac{kT}{hc}\right)^4 \frac{x^3dx}{e^x -1}
    \end{array}\)

Puesto que los valores de x0 y x1 son muy próximos entre sí, podemos aplicar el teorema del valor medio y escribir:

    \(f(x)dx = (b-a)f(\xi)\; \textrm{con } a< \xi <,b \)

Con lo cual:

    \(\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}2\pi c^2 h \left(\frac{kT}{hc}\right)^4 \frac{x^3dx}{e^x -1}\cong2\pi c^2 h \left(\frac{kT}{hc}\right)^4(x_0 - x_1)\frac{\bar{x}^3dx}{e^\bar{x} -1}\)

Donde podemos tomar como valor medio:

    \(\displaystyle\bar{x} = \frac{(x_0 + x_1)}{2} \)

Nos queda entonces que P vale aproximadamente 9,622 W/cm² y, como en este caso el área del agujero es 7,85398x10-5 cm², la potencia radiada en el intervalo de onda considerado es 7,557x10-4 W.
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tema escrito por: José Antonio Hervás