PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Física Cuántica

Una cavidad tiene una distribución de energía correspondiente a un cuerpo negro. En su superficie se hace un agujero circular de 0,1 mm de diámetro. Calcular la potencia radiada a través del agujero en el intervalo de onda de 5500 Armstrong hasta 5510 Armstrong. La temperatura es de 6000 grados Kelvin.

Respuesta del ejercicio 22

La potencia radiada por unidad de área en el intervalo de longitudes de onda entre λ0 y λ1 viene dada por:

    \(\displaystyle P(\lambda_0, \lambda_1) = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}R_T(\lambda)d\lambda \)

En el ejercicio 21 hemos visto que se cumple:

    \(\displaystyle R_T(\nu) =\frac{\rho_T(\nu)c}{4} \)

Y por teoría, sabemos que se tiene:

    \(\displaystyle \rho_T (\lambda) = \rho_T (\nu)\frac{d\nu}{d\lambda} = \rho_T (\nu)\frac{c}{\lambda^2}\quad \textrm{ por ser }\nu = c/\lambda\)

En consecuencia:

    \(\displaystyle R_T (\lambda) =\frac{c}{4}\frac{8\pi\cdot hc}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)} \Rightarrow P(\lambda_0 , \lambda_1) = \)

    \(\displaystyle = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}R_T (\lambda)d\lambda = 2\pi c^2 h \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \frac{d\lambda}{\lambda^5(e^{hc/\lambda kT}-1)} \)
Haciendo el cambio de variable\(\frac{hc}{\lambda k T}= x\) resulta:

    \(\displaystyle dx =- \frac{hc}{kT}\frac{d\lambda}{\lambda^2}\Rightarrow d\lambda = - \frac{hc}{kT}\frac{dx}{x^2} \)

Y sustituyendo:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    P(\lambda_0, \lambda_1) =2\pi c^2 h \int_{x_0}^{x_1} \frac{\displaystyle \frac{hc}{kT}\frac{dx}{x^2}}{\left(\frac{hc}{xkT}\right)^5(e^x -1)} = \\
     \\
    = \int_{x_0}^{x_1}2\pi c^2 h \left(\frac{kT}{hc}\right)^4 \frac{x^3dx}{e^x -1}
    \end{array}\)

Puesto que los valores de x0 y x1 son muy próximos entre sí, podemos aplicar el teorema del valor medio y escribir:

    \(f(x)dx = (b-a)f(\xi)\; \textrm{con } a< \xi <,b \)

Con lo cual:

    \(\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}2\pi c^2 h \left(\frac{kT}{hc}\right)^4 \frac{x^3dx}{e^x -1}\cong2\pi c^2 h \left(\frac{kT}{hc}\right)^4(x_0 - x_1)\frac{\bar{x}^3dx}{e^\bar{x} -1}\)

Donde podemos tomar como valor medio:

    \(\displaystyle\bar{x} = \frac{(x_0 + x_1)}{2} \)

Nos queda entonces que P vale aproximadamente 9,622 W/cm² y, como en este caso el área del agujero es 7,85398x10-5 cm², la potencia radiada en el intervalo de onda considerado es 7,557x10-4 W.
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tema escrito por: José Antonio Hervás