PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Física Cuántica

Utilizando la ecuación:
    \(\displaystyle\langle\hat{A}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_t^* (x)\left[\hat{A}\psi_t(x)\right]dx \)
demostrar que las esperanzas de la posición y de la cantidad de movimiento, en el estado ψ(x, t) se pueden calcular a partir de:
    \(\displaystyle\langle\hat{X}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}x |\psi(x)|^2dx \; ; \; \langle\hat{P}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x,t)\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial x}dx \)
Respuesta del ejercicio20
Aplicando la ecuación del enunciado al operador posición, tenemos:

    \(\displaystyle \left\langle\hat{X}\right\rangle_t = \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\left[\hat{X}\psi_t(x)\right]dx= \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\cdot x \cdot\psi_t(x)dx \)

    \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty x\phi_t^*(x)\psi_t(x)dx = \int_{-\infty}^\infty x\left|\psi_t(x)\right|^2 = \int_{-\infty}^\infty x\left|\psi(x,t)\right|^2dx \)
y haciendo análogamente para el operador cantidad de movimiento:

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \left\langle\hat{P}\right\rangle_t = \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\left[\hat{P}\psi_t(x)\right]dx= \\
     \\
    = \int_{-\infty}^\infty\phi_t^*(x)\left[- \imath\hbar\frac{d}{dx}\psi_t\right](x)dx =
    \end{array} \)

y como en este caso la derivada respecto a x es una derivada parcial, tendremos finalmente:

    \(\displaystyle\left\langle\hat{P}\right\rangle_t = - \imath\hbar\int_{-\infty}^\infty\psi^* (x,t) \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial x}dx \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás