PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Respuesta del ejercicio 16
Según sabemos de teoría, podemos escribir :

    \(\displaystyle\frac{d<\hat{A}>_t}{dt} =\frac{1}{\hbar}\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right) \)
Por otro lado, una consecuencia general en la demostración del principio de Eisemberg nos dice que se verifica:

    \(\displaystyle \left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right) = 2\imath· Im \left(\hat{H}'\psi_t, \hat{A}'\psi_t\right) \)

Además, también tenemos :
    \(\hat{H}' = \hat{H} - <\hat{H} > \; ; \;\hat{A}' = \hat{A} - <\hat{A} > \)
Con todo lo anterior, para el caso que nos ocupa podemos hacer :

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    <\hat{H} > = \int_{-\infty}^\infty \psi_t^* \hat{H}\psi_t dx = \\
     \\
    = \int_{-\infty}^\infty e^{\imath E_nt/\hbar}\eta_k^*(x)\hat{H}\left(e^{\imath E_nt/\hbar}\eta_k(x)\right)dx = \\
     \\
    = \int_{-\infty}^\infty \eta_k^*(x)\hat{H}\eta_k(x) dx = \int_{-\infty}^\infty \eta_k^*(x)E_k\eta_k(x) dx = \\
     \\
    = E_k\int_{-\infty}^\infty \eta_k^*(x)\eta_k(x) dx = E_k
    \end{array} \)

y esto nos permite escribir :

    \(\displaystyle \hat{H}' [\psi_t(x)]= \left(\hat{H}-<\hat{H} >\right)\psi_t(x)= \hat{H}\psi_t(x) - <\hat{H} >\psi_t(x) = \)

    \(\displaystyle = \hat{H}\left[e^{-iE_nt/\hbar}\eta_k(x)\right] - E_ke^{-iE_nt/\hbar}\eta_k(x) = 0\)
Por lo que tendremos :

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)= 2i· Im \left(0, \hat{A}'\psi_t\right) = \\
     \\
    = \frac{d}{dt}\langle\hat{A}\rangle_t = 0 \Rightarrow \langle\hat{A}\rangle_t = Cte
    \end{array} \)
Para demostrar que la incertidumbre,Δ Ât , es constante en el tiempo, nos basta demostrar que lo es <²>, pues se tiene :

    \(\displaystyle\triangle\hat{A}_t = \sqrt{\left(\langle\hat{A}^2\rangle_t - \langle\hat{A}\rangle_t^2\right)} \Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\triangle\hat{A}_t\right) = \)

    \(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\left(\langle\hat{A}^2\rangle_t - \langle\hat{A}\rangle_t^2\right)}}\frac{d}{dt}\left(\langle\hat{A}^2\rangle_t - \langle\hat{A}\rangle_t^2\right) \)

Así pues, tenemos

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \frac{d}{dt}<\hat{A}^2>_t = \frac{i}{\hbar}\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A}^2 - \hat{A}^2\hat{H}\right]\psi_t\right) = \\
     \\
    = -\frac{2}{\hbar}Im\left(\hat{H}'\psi_t, \hat{A}^2\psi_t\right) = 0
    \end{array} \)
Por último nos queda demostrar que las cantidades |(αn, ψt)|² son también constantes en el tiempo. Para ello hacemos :

    \(\displaystyle\begin{array}{l} \left|(\alpha_n, \psi_t)\right| \left|\sum_{n=1}^\infty(\eta_i,\alpha_n)\eta_i(x),e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right|^2 = \\  \\ = \left|e^{-iE_nt/\hbar}\left(\sum_{n=1}^\infty(\eta_i,\alpha_n)\eta_i(x), \eta_n(x)\right)\right|^2 = \\  \\ = \left|e^{-iE_nt/\hbar}\right|^2\left|(\eta_i,\alpha_n)\right|^2\left|(\eta_i,\alpha_n)\right|^2 \end{array}\)
Pero los vectores {αn} y {ηk} son independientes de t, por lo que cualquier función que los relacione lo será también.
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás