Ejercicios de Mecánica cuántica
Por sustitución directa de la ecuación
\(\displaystyle \psi_t = \sum_{k=1}^\infty(\eta_n\psi_0)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n
(x) \quad (1)\)
En :
\(\displaystyle \imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)]
= \hat{H}\psi(x,t)\quad (2)\)
Demostrar que esta expresión de satisface la ecuación de evolución
temporal del postulado 5. Recuérdese que ni (∂ / ∂t)
ni Ĥ tienen efecto alguno sobre las constantes complejas
(ηn, ψ0)
Respuesta del ejercicio 15
Para resolver el problema escribimos la ecuación (1) del enunciado
en el primer término de la ecuación (2) del enunciado y operamos
según se requiere :
\(\displaystyle \begin{array}{l}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left[\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(t) \right]= \\
\\
= \imath\hbar\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)\frac{\partial}{\partial t}\left[e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right] \\
\\
= \imath\hbar\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)\left[- \frac{\imath}{\hbar}E_ne^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right] = \\
\\
= \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}E_n\eta_n(x)
\end{array} \)
Pero teniendo en cuenta que se cumple :
\(\hat{H}\eta_n(x) = E_n \eta_n(x) \; ; \; k= 1,2, \cdots \)
podemos continuar la cadena de igualdades poniendo :
\(\displaystyle\begin{array}{l}
\imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)]= \sum_{n=1}^\infty
(\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\hat{H}\eta_n(x)= \\
\\
= \hat{H}\left[ \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right]
\end{array} \)
pero el término entre corchetes es justamente el valor de ψ
t(x,
t) , por consiguiente, se cumple la condición (2) pedida en el
enunciado.