PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Por sustitución directa de la ecuación
    \(\displaystyle \psi_t = \sum_{k=1}^\infty(\eta_n\psi_0)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n (x) \quad (1)\)

En :

    \(\displaystyle \imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)] = \hat{H}\psi(x,t)\quad (2)\)
Demostrar que esta expresión de satisface la ecuación de evolución temporal del postulado 5. Recuérdese que ni (∂ / ∂t) ni Ĥ tienen efecto alguno sobre las constantes complejas (ηn, ψ0)

Respuesta del ejercicio 15
Para resolver el problema escribimos la ecuación (1) del enunciado en el primer término de la ecuación (2) del enunciado y operamos según se requiere :

    \(\displaystyle \begin{array}{l} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left[\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(t) \right]= \\  \\ = \imath\hbar\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)\frac{\partial}{\partial t}\left[e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right] \\  \\ = \imath\hbar\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)\left[- \frac{\imath}{\hbar}E_ne^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right] = \\  \\ = \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}E_n\eta_n(x) \end{array} \)
Pero teniendo en cuenta que se cumple :
    \(\hat{H}\eta_n(x) = E_n \eta_n(x) \; ; \; k= 1,2, \cdots \)
podemos continuar la cadena de igualdades poniendo :

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)]= \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\hat{H}\eta_n(x)= \\
     \\
    = \hat{H}\left[ \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right]
    \end{array} \)

pero el término entre corchetes es justamente el valor de ψt(x, t) , por consiguiente, se cumple la condición (2) pedida en el enunciado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás