Ejercicios de Mecánica cuántica

Por sustitución directa de la ecuación

\(\displaystyle \psi_t = \sum_{k=1}^\infty(\eta_n\psi_0)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n (x) \quad (1)\)

En :

\(\displaystyle \imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)] = \hat{H}\psi(x,t)\quad (2)\)

Demostrar que esta expresión de satisface la ecuación de evolución temporal del postulado 5. Recuérdese que ni (∂ / ∂t) ni Ĥ tienen efecto alguno sobre las constantes complejas (η_n, ψ₀)

Respuesta del ejercicio 15

Para resolver el problema escribimos la ecuación (1) del enunciado en el primer término de la ecuación (2) del enunciado y operamos según se requiere :

\(\displaystyle \begin{array}{l} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left[\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(t) \right]= \\  \\ = \imath\hbar\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)\frac{\partial}{\partial t}\left[e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right] \\  \\ = \imath\hbar\sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)\left[- \frac{\imath}{\hbar}E_ne^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right] = \\  \\ = \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}E_n\eta_n(x) \end{array} \)

Pero teniendo en cuenta que se cumple :

\(\hat{H}\eta_n(x) = E_n \eta_n(x) \; ; \; k= 1,2, \cdots \)

podemos continuar la cadena de igualdades poniendo :

\(\displaystyle\begin{array}{l}
\imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)]= \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\hat{H}\eta_n(x)= \\
 \\
= \hat{H}\left[ \sum_{n=1}^\infty (\eta_n , \psi_o)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n(x)\right]
\end{array} \)

pero el término entre corchetes es justamente el valor de ψ_t(x, t) , por consiguiente, se cumple la condición (2) pedida en el enunciado.