PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Demostrar que las ecuaciones :
    \(\displaystyle\frac{d}{dt}[a_n(t)] = - \frac{\imath}{\hbar}\sum_{m=1}^\infty a_m(t)\left(\alpha_n,\hat{H} \alpha_m\right)\; ; \ n = 1,2, \cdots \; (1)\)
se reducen a las ecuaciones:
    \(\displaystyle\frac{d}{dt}(\eta_t,\psi_t)=- \frac{\imath}{\hbar}E_n(\eta_t,\psi_t)\; ; \ n = 1,2, \cdots \; (2) \)
Cuando los vectores propios {αi(x)} coincidan con los vectores propios de la energía, ηi(x) definidos por :
    \(\hat{H}\eta_k(x) = E_k\eta_k(x) \)
Respuesta del ejercicio 14
Los coeficientes an(t) se definen mediante:

    \(\alpha_n(t) = (a_n , \psi_t)\; ; \textrm{con }n = 1,2, \cdots \Rightarrow g_n(t) = (\eta_n , \psi_t)\; n = 1,2, \cdots \)
Escribiendo esto en la ecuación (1) del enunciado, tenemos
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \frac{d}{dt}[\eta_n , \psi_t]= - \frac{i}{\hbar}\sum_{m=1}^\infty (\eta_n , \psi_t)\left(\eta_n, \hat{H}\eta_m\right)= \\  \\ = - \frac{i}{\hbar}\sum_{m=1}^\infty (\eta_n , \psi_t)\left(\eta_n, E_m\eta_m\right)= - \frac{i}{\hbar}\sum_{m=1}^\infty (\eta_n , \psi_t)E_m\left(\eta_n, \eta_m\right) \end{array} \)
pero ηi(x) son vectores ortonormales para los que se tendrá :
    \((\eta_i \eta_j) = \delta_{ij}\)
y de ahí :
    \(\displaystyle \frac{d}{dt}[\eta_n , \psi_t]= - \frac{i}{\hbar}(\eta_n , \psi_t)E_n(\eta_n \eta_n)- \frac{i}{\hbar}E_n(\eta_n , \psi_t) \)

donde el subíndice n recorre el conjunto de los números naturales.
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tema escrito por: José Antonio Hervás