Ejercicios de Mecánica cuántica
Deducir la relación :
\(T_A\triangle\hat{H}\geq\hbar/2 \)
Donde TA es el denominado tiempo de evolución de un
sistema y Ĥ su hamiltoniano.
Respuesta del ejercicio 13
La relación de incertidumbre generalizada es :
\(\displaystyle\begin{array}{l}
\triangle \hat{A}\triangle\hat{B}= \triangle\hat{B}\triangle\hat{A}\geq
\frac{1}{2}\left(\psi_t,\left[\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\right]\psi_t
\right) = \\
\\
= \frac{1}{2}\left(\psi_t,\left[ \hat{B}\hat{A} - \hat{A}\hat{B}\right]\psi_t
\right)
\end{array} \)
Por otro lado tenemos :
\(\displaystyle\begin{array}{l}
\left|\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}\right| = \\
\\
= \sqrt{\frac{i}{\hbar}\left[\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)\right]\left[\frac{i}{\hbar}\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)\right]^*} = \\
\\
= =\frac{1}{\hbar}\left|\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)\right|
\end{array} \)
Aplicando la relación de incertidumbre generalizada al caso del
operador hamiltoniano resulta:
\(\displaystyle\triangle\hat{H}\triangle\hat{A}= \triangle\hat{A}\triangle\hat{H}\geq
\frac{1}{2}\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t
\right) \)
y sustituyendo en la expresión anterior :
\(\displaystyle\left|\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}\right| \leq
\frac{2}{\hbar}\triangle\hat{A}\triangle\hat{H}\Rightarrow \left[\frac{\triangle\hat{A}}{\left|\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}\right|}\right]
\triangle\hat{H} \geq \frac{\hbar}{2}\)
pero el término entre corchetes es el tiempo de evolución del
sistema, T
A , con lo que finalmente hemos llegado a
la expresión que queríamos obtener.