Ejercicios de Mecánica cuántica

Respuesta del ejercicio 13

La relación de incertidumbre generalizada es :

\(\displaystyle\begin{array}{l}
\triangle \hat{A}\triangle\hat{B}= \triangle\hat{B}\triangle\hat{A}\geq \frac{1}{2}\left(\psi_t,\left[\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\right]\psi_t \right) = \\
 \\
= \frac{1}{2}\left(\psi_t,\left[ \hat{B}\hat{A} - \hat{A}\hat{B}\right]\psi_t \right)
\end{array} \)

Por otro lado tenemos :

\(\displaystyle\begin{array}{l} \left|\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}\right| = \\  \\ = \sqrt{\frac{i}{\hbar}\left[\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)\right]\left[\frac{i}{\hbar}\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)\right]^*} = \\  \\ = =\frac{1}{\hbar}\left|\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right)\right| \end{array} \)

Aplicando la relación de incertidumbre generalizada al caso del operador hamiltoniano resulta:

\(\displaystyle\triangle\hat{H}\triangle\hat{A}= \triangle\hat{A}\triangle\hat{H}\geq \frac{1}{2}\left(\psi_t,\left[\hat{H}\hat{A} - \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t \right) \)

y sustituyendo en la expresión anterior :

\(\displaystyle\left|\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}\right| \leq \frac{2}{\hbar}\triangle\hat{A}\triangle\hat{H}\Rightarrow \left[\frac{\triangle\hat{A}}{\left|\frac{d<\hat{A}>_t}{dt}\right|}\right] \triangle\hat{H} \geq \frac{\hbar}{2}\)

pero el término entre corchetes es el tiempo de evolución del sistema, T_A , con lo que finalmente hemos llegado a la expresión que queríamos obtener.