PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica - Respuesta 8
Con la hipótesis de que {αi(x)} es una base ortonormal de vectores propios, para n > 3 todos los βn(x) serán ortogonales entre sí y de norma unidad. Veamos que ocurre para los otros casos :
    \(\displaystyle(\beta_1(x),\beta_1(x))= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1(x)+ \frac{1}{2}\alpha_2(x),\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1(x)+ \frac{1}{2}\alpha_2(x)\right) = \)

    \(\displaystyle \frac{3}{4}\left(\alpha_1(x),\alpha_1(x)\right)+ \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\alpha_1(x),\alpha_2(x)\right) + = \)

    \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\alpha_2(x),\alpha_1(x)\right)+\frac{1}{4}\left(\alpha_2(x),\alpha_2(x)\right)=\frac{3}{4} + \frac{1}{4} =1 \)

y esto es así , por ser α1(x) y α2(x) ortonormales.

Análogamente :
    \(\displaystyle(\beta_1(x),\beta_2(x))= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_1(x)+ \frac{1}{2}\alpha_2(x),\frac{1}{2}\alpha_1(x)- \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2(x)\right) = \)

    \(\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\alpha_1(x),\alpha_1(x)\right)- \frac{3}{4}\left(\alpha_1(x),\alpha_2(x)\right)+ \)

    \(\displaystyle + \frac{1}{4}\left(\alpha_2(x),\alpha_1(x)\right) \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\alpha_2(x),\alpha_2(x)\right) =\frac{3}{4} -\frac{3}{4} = 0\)
Y también :

    \(\displaystyle ((\beta_2(x),\beta_2(x))= \left(\frac{1}{2}\alpha_1(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2(x),\frac{1}{2}\alpha_1(x) -\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_2(x)\right) =\)

    \(\displaystyle \frac{1}{4}\left(\alpha_1(x),\alpha_1(x)\right)- \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\alpha_2(x),\alpha_1(x)\right) - \)

    \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\alpha_1(x),\alpha_2(x)\right)+\frac{3}{4}\left(\alpha_2(x),\alpha_2(x)\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} =1 \)
Para n > 3 , resulta fácil comprobar que se tiene en todos los casos:

    \( \left(\beta_1(x),\beta_n(x)\right) = 0 \; ; \;\left(\beta_2(x),\beta_n(x)\right) = 0\)

todo ello en función de que {αi(x)}es una base ortonormal.

b) Para desarrollar los vectores propios de  en función de los de Ê consideramos únicamente los dos primeros, pues por la relación del enunciado, para n > 3 se tendrá trivialmente {βn(x)} = {αn(x)}. Así pues, resulta fácil obtener :
    \(\displaystyle \alpha_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\beta_1(x) + \frac{1}{2}\beta_2(x)\; ; \;\alpha_2 = \frac{1}{2}\beta_1(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\beta_2(x) \)
y el desarrollo de los vectores propios de  en función de los de Ê es el mismo que para obtener los vectores propios de Ê en función de los de Â.

Esto se podría haber visto comprobando que la matriz de transformación es ortogonal y, en consecuencia, será su propia inversa.
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás