PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Mecánica Cuántica

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Mecánica cuántica

Respuesta del ejercicio 7
Se dice que dos operadores ¬ y   conmutan si se verifica :
    \((\hat{A}\hat{E}- \hat{E}\hat{A})\psi(x) = 0 \)
para cualquier vector .

En el caso de los operadores ¬ y f(¬) , donde
    \( \displaystyle f(\hat{A})=\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n \)
tenemos :

    \(\displaystyle\left(\hat{A}f(\hat{A})- f(\hat{A})\hat{A}\right)\psi(x) = \left(\hat{A}\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n-\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n \hat{A}\right)\psi(x) = \)
    \(\displaystyle =\left(\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^{n+1}-\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^{n+1}\right)\psi(x) = 0∑\psi(x)= 0 \)
Y los operadores ¬ y f(¬) conmutan.

Segķn el teorema de compatibilidad, dos operadores son compatibles si conmutan. Puesto que ¬ y f(¬) tienen la misma base propia, podemos escribir :

    \(\displaystyle\hat{A}\left\{\alpha_k(x)\right\} = A_k\alpha_k(x)\; ;\; f(\hat{A})\left\{\alpha_k(x)\right\} = f(A_k)\alpha_k(x) \)
y tenemos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\hat{A}f(\hat{A})\right)\psi(x) = \hat{A}f(\hat{A})\left[\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)\alpha_k(x)\right] = \\  \\ \hat{A}\left[\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)f(\hat{A})\{\alpha_k(x)\}\right] =\hat{A}\left[\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)f(A_k)\{\alpha_k(x)\}\right] = \\  \\ = \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)f(A_k)\hat{A}\{\alpha_k(x)\} = \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t) f(A_k)A_k \alpha_k(x)= \\  \\ = \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)A_k f(A_k) \alpha_k(x) = f(\hat{A})\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)A_k \alpha_k(x) = \\  \\ = f(\hat{A}) \hat{A}\sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t) \alpha_k(x) = f(\hat{A})\hat{A}\{\alpha_k(x)\} \end{array} \)
y puesto que los operadores considerados conmutan, los observables serŠn compatibles.
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás