PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Respuesta del ejercicio 6
Por definición, el valor < Â>t es la media de los valores obtenidos en una serie de medidas sucesivas de  en el estado ψt(x, t) :

    \(\displaystyle \langle\hat{A}\rangle_t = \sum_{k=1}^\infty|(\alpha_k,\psi_t)|^2 A_k \)

Por consiguiente, para demostrar la validez de la expresión del enunciado nos basta con encontrar que la medida de f(Â) en el estado ψt(x, t) viene dada por :
    \(|(\alpha_k,\psi_t)|^2f( A_k)\)
Para ello tenemos :

    \(\displaystyle\left(\psi_t(x), f(\hat{A})\psi_t(x)\right) = \left( \sum_{j=1}^\infty|(\alpha_j,\psi_t)\alpha_j , f(\hat{A})\left[\sum_{k=1}^\infty|(\alpha_k,\psi_t)\alpha_k\right]\right)= \)
    \(\displaystyle = \left(\sum_{j=1}^\infty|(\alpha_j,\psi_t)\alpha_j,\sum_{n=0}^\infty \hat{A}^n\left[\sum_{j=1}^\infty|(\alpha_j,\psi_t)\alpha_j\right]\right) \)

por ser disjuntos los índices n y k, podemos intercambiar los sumatorios e igualar la expresión anterior a :

    \(\displaystyle \left(\sum_{j=1}^\infty(\alpha_j,\psi_t)\alpha_j, \sum_{k=1}^\infty(\alpha_k,\psi_t)\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n\{\alpha_j\}\right) = \)

    \(\displaystyle \left(\sum_{j=1}^\infty(\alpha_j,\psi_t)\alpha_j, \sum_{j=1}^\infty(\alpha_j,\psi_t)f(A_k)\alpha_k\right)= \)

    \(\displaystyle \sum_{j=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\left(\alpha_j,\psi_t\right)^*\left(\alpha_k,\psi_t\right)f(A_k)\delta_{jk} = |\left(\alpha_j,\psi_t\right)|^2f(A_k) \)
A partir de aquí, solo tenemos que aplicar la definición de valor medio para obtener el resultado pedido.
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás